Encuentra la ecuación de la hipérbola que pasa por los vértices de la elipse

Encuentra la ecuación de la hipérbola que pasa por los vértices de la elipse (x-8)²/9
+ (y-3)²/4 = 1 cuyas asíntotas son las rectas 4x-3y-23=0 y 4x+3y-41=0
Realiza su gráfica e identifica sus elementos geométricos.

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La ecuación de la elipse está en forma canónica, luego podemos conocer fácilmente el centro y los semiejes.

Si la ecuación canónica es

$$\frac{x-c}{a^2}+\frac{x-d}{b^2}=1$$

Entonces

El centro es (c, d)

El semieje X es a

El semieje Y es b

El eje longitudinal (el que tiene los focos y vértices) es el que tiene el semieje mayor

Entonces en esta

centro = (8, 3)

semieje en X = sqrt(9) = 3

semieje en Y = sqrt(4) = 2

El eje es paralelo al eje X. Luego el semieje mayor tomado como vector es (3, 0)

Y los vértices se obtienen sumando al centro el vector del semieje mayor y su inverso

v1 = (8, 3) + (3,0) = (11, 3)

v2 = (8, 3) + (-3, 0) = (5, 3)

Y dada una hipérbola de ecuaciones canónicas

$$\begin{align}&\frac{(x-c)^2}{a^2}-\frac{(y-d)^2}{b^2}=1\\ &\\ &\frac{(y-d)^2}{a^2}-\frac{(x-c)^2}{b^2}=1\end{align}$$

la primera cuando el eje longitudinal es paralelo al eje X, la segunda cuando lo es a Y, entonces, las asíntotas respectivas son.

$$\begin{align}&y=d\pm \frac ba(x-c)\\ &\\ &y=d\pm \frac ab (x-c)\end{align}$$

Pongamos las asíntotas que nos dan en esa misma forma

4x-3y-23=0 ==> y = (4/3)x - (23/3)

4x+3y+41=0 ==> y = -(4/3)x + (41/3)

igualamos la expresión del término libre con el valor que tiene

d - (4/3)c = -23/3

d + (4/3)c = 41/3

restando la primera a la segunda

(8/3)c = 64/3

c= (64/3)(3/8) = 8

d+(4/3)8 = 41/3

d+32/3= 41/3

d = 9/3 = 3

Luego el centro es (8,3)

Y también se deduce de la ecuación de las asíntotas que

a/b = 4/3

a = 4b/3

Con todo esto la ecuación de la hipérbola será

$$\frac{(x-8)^2}{\left(\frac{4b}{3}\right)^2}-\frac{(y-3)^2}{b^2}=1$$

Y para calcular b vamos a hacer que la hipérbola pase por un vértice de la elipse, el (11,3) por ejemplo

$$\begin{align}&\frac{(11-8)^2}{\left(\frac{4b}{3}\right)^2}-\frac{(3-3)^2}{b^2}=1\\ &\\ &\frac{9}{\frac{16b^2}{9}}=1\\ &\\ &16b^2=81\\ &\\ &4b=9\\ &\\ &b=\frac 94\\ &\\ &\end{align}$$

Entonces la ecuación es:

$$\begin{align}&\frac{(x-8)^2}{\left(\frac 43· \frac 94\right)^2}-\frac{(y-3)^2}{\left( \frac 94\right)^2}=1\\ &\\ &\\ &\frac{(x-8)^2}{3^2}-\frac{(y-3)^2}{\left( \frac 94\right)^2}=1\\ &\\ &\end{align}$$

Y esa es la ecuación canónica de la hipérbola que nos piden.

Y eso es todo, el ejercicio ya ha sido suficientemente amplio y hacer la gráfica no es moco de pavo. Si quieres que la haga, puntúa esta y mándame otra pregunta para la gráfica.

No tienes idea de lo agradecida que estoy con tu respuesta, soy una persona que dejó de estudiar muchos años, casi 15, por lo cual olvidé las matemáticas, pero estoy en el camino de ir recuperando poco a poco, lo que aprendí, gracias por todo!

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