Calculo de área como podría resolver gráfica calculando punto de corte de estas funciones

Diosa Lara!

Son dos ecuaciones con dos incógnitas, se puede calcular los puntos de corte. Si además tienes la gráfica no te olvidarás nada.

y^2 = 4x  ==>  x= y^2 / 4

x^2 = 4y  ==> y^4 / 16 = 4y

y^4 =64y

y^4 - 64y = 0

y(y^3-64) = 0

y=0 es la primera solución

y^3-64=0

y^3 = 64

y = 4

Luego hay dos soluciones para y, el 0 y el 4

entonces x=y^2 / 4 será 0 y 4 también

Luego los puntos de corte son estos dos

(0, 0) y (4, 4)

Y eso es todo.

x^2 = 4y  ==> y^4 / 16 = 4y 

No le logro entender, viendo las funciones se que en la gráfica serrian 2 parábolas, pero no comprendo exactamente para lograr plantear mi gráfica y de ello las REGIONES TIPO I Y II

$$\begin{align}& \end{align}$$

El areá será la integral entre los puntos de corte de una variable (integral de fuera) de las funciones expresadas en función de esa misma variable (integral de dentro). Es decir, si calculamos el tipo I tomaremos x entre 0 y 4 en la integral exterior ya que son las primeras coordenadas de los dos puntos de corte, y los límites de la interior son las funciones y(x) que correspondan (unas expresiones con equis). A lo mejor puede ser necesario ver la gráfica para asegurarse deponer bien la función inferior y la superior. Y si calculamos el tipo II tambien los límites de la exterior son 0 y 4 porque esas son las coordenadas segundas de los puntos de corte, y la integral interior tendrá como límites las funciones x(y), unas expresiones con yes).

Veamos a ver si no me equivoco sin necesidad de hacer la gráfica... bueno, lo he pensado mejor y he hecho la gráfica, no la tenía clara.

$$\begin{align}&\text{Tipo I}\\&\\&A=\int_0^4\int _{\frac{x^2}{4}}^{\sqrt{4x}}dy dx\\&\\&\\&\\&\text{Tipo II}\\&\\&A = \int_0^4\int_{\frac{y^2}{4}}^{\sqrt{4y}}dxdy\end{align}$$

Y eso es todo.

Entiendo lo de las regiones.

Solo que cuando me indica

y^2 = 4x  ==>  x= y^2 / 4

x^2 = 4y  ==> y^4 / 16 = 4y  (Este cambio no lo comprendo)

y^4 =64y

y^4 - 64y = 0

y(y^3-64) = 0

y=0 es la primera solución

y^3-64=0

y^3 = 64

y = 4

En mi gráfica solo tengo la parábola que abre hacia la derecha ya que le di valores a por, y pero la parábola

x^2 = 4y  ==> y^4 / 16 = 4y aun no a entiendo para asi poderle dar alores a x,y y hacer mi otra parabola.

y^2 = 4x  ==>  x= y^2 / 4

x^2 = 4y  ==>

Sustituyendo el valor de x calculado arriba

y^4 / 16 = 4y

Esta es la gráfica:

Y la representación alternativa de las funciones es:

$$\begin{align}&y^2=4x  \quad \\&y=\pm \sqrt {4x}\\&x=\frac{y^2}{4}\\&\\&\\&\\&x^2=4y\\&x=\pm \sqrt{4y}\\&y=\frac{x^2}{4}\end{align}$$

Si te fijas el area a calcular está en el primer cuadrante, luego las funciones que hay que tomar de las que tienen doble signo son las que tienen signo positivo.

Y eso es todo.