Encuentra ecuación elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, pasa punto P y R

Encuentra la ecuación de la
elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, que pasa por los puntos P Y R que son los extremos
del lado recto de la parábola , el punto S que es el centro de la
circunferencia x²+y²-14x+8y+49=0, y
el punto Q que es la intersección de las rectas 2x+y+6=0 y 3x-y-1=0.

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5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Falta la ecuación de la parábola para determinar cuál es el lado recto de ella. Si no, las respuestas son infinitas.

Sí, de acuerdo, no sé porqué motivo no se registró, la pregunta completa es:

Encuentra la ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, que pasa por los puntos P Y R que son los extremos del lado recto de la parábola y²-4x+8y+24=0 , el punto S que es el centro de la circunferencia x²+y²-14x+8y+49=0, y
el punto Q que es la intersección de las rectas 2x+y+6=0 y 3x-y-1=0. Gracias!

Deja que empiece por lo fácil, por calcular el punto Q. Sumaré las dos ecuaciones

2x+y+6=0

3x-y-1=0

-----------

5x +5 = 0

x=-1

3-y+1=0

y=-4

Q=(-1, -4)

Ahora el centro de la circunferencia lo hallamos completando cuadrados.

x^2 + y^2 -14x + 8y +49 = 0

(x-7)^2 - 49 +(y+4)^2 -16 + 49 = 0

S=(7, -4)


La parábola es

y²-4x+8y+24=0

en forma canónica

(y+4)^2 -16 -4x + 24 = 0

(y+4)^2 =4x -8

(y+4)^2 =4(x-2)

Es una parábola cuyo eje longitudinal es paralelo al eje X.

Su vértice es (2,4)

Como la ecuación canónica es

(y-d)^2 = 2p(x-c)

donde p es la distancia de la directriz al foco

tenemos p = 2

Y la distancia del vértice al foco es la mitad luego es 1

Entonces el lado recto es le segmento perpendicular al eje X que pasa pr el foco

Si el vértice es (2, 4) el eje longitudinal es paralelo al eje X, la parábola crece hacia la derecha y la distancia vértice al foco es 1 tenemos

v=(2, -4)+(1, 0) = (3,4)

La recta que contiene el lado recto es x=3

Y los puntos de intersección con la parábola son

(y+4)^2 =4(x-2)

(y+4)^2 =4(3-2)=4

(y+4) =+- 2

y = -2 , -6

Luego los extremos del lado recto son

P=(3, -2)

R=(3, -6)

Y los de antes eran

Q=(-1, -4)

S=(7,-4)

En realidad una cónica queda determinada por 5 puntos, luego falta uno, hay infinitas elipses que pasan por esos 4 puntos. Pero al ser de ejes paralelos a los ejes coordenados no se necesitan 5 sino 4 puntos.

El lado recto corta en (3,-2) y (3, -6), entonces el eje paralelo al eje X pasa por el punto intermedio que es (3,-4)

El eje paralelo al X es por tanto

y=-4

Y en ese eje tenemos dos puntos que son

(-1, -4) y (7,-4)

luego el centro de la elipse es el punto intermedio

[(-1, -4) + (7, -4)] / 2 = (6, -8) / 2 = (3, -4)

El semieje en X mide la distancia del vértice al centro (7,-4)-(3,-4) = (4,0) cuyo módulo es 4

Vemos que el centro está alineado con los puntos del lado recto luego el semieje paralelo al eje Y mide la distancia del centro a uno de esos puntos (3.-2)-(3,-4) =(0,2)cuyo módulo es 2.

Ya tenemos el centro y lo s semiejes, con ello la ecuación canónica de la elipse es

$$\frac{(x-3)^2}{4^2}+\frac{(y+4)^2}{2^2}=1$$

Y eso es todo. ¿Estos problemas son de colegio o son de universidad? Porque se las traen.

Gracias en verdad por su esfuerzo, representa mucho para mí, lo aprecio mucho y espero seguir contando con su apoyo desinteresado. Saludos!

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