Como puedo aplicar diferenciales en este ejercicio

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Soraya!

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a) Nos dan el costo marginal, luego solo debemos calcular el valor de este para q=25

$$\begin{align}&\frac{dc}{dq}\bigg|_{q=25}=\frac 9{10}\sqrt{25}\sqrt{0.04·25^{3/4}+4}=\\&\\&\frac 92·2.108841766 =9.489787949 \;dolares/unidad\\&\\&\text{redondeando }9.49 \;dolares/unidad\\&\\&\\&\text{b) Calculamos la liosa integral}\\&\\&C(q)=\frac 9{10}\int \sqrt q \sqrt{0.04 q^{3/4}+4}\;dq=\\&\\&\text{multiplico y divido por 5}\\&\\&\frac{9}{50}\int \sqrt q \sqrt{q^{3/4}+100}\;dq=\\&\\&t=q^{3/4}+100\implies q=(t-100)^{4/3}\implies \\&\sqrt q=(t-100)^{2/3}\\&\\&dt=\frac 34q^{-1/4}dq\implies\\&dq=\frac 43 q^{1/4}dt=\frac 43 (t-100)^{1/3}dt\\&\\&C(q)=\frac 9{50}\int (t-100)]^{2/3}·t^{1/2}·\frac 43·[t-100)]^{1/3}dt=\\&\\&\frac{36}{150}\int(t-100)t^{1/2}\; dt=\\&\\&\frac 6{25}\int \left(t^{3/2}-100 t^{1/2}\right)dt=\\&\\&\frac 6{25}·\frac{t^{5/2}}{\frac 52}-\frac{600}{25}·\frac{t^{3/2}}{\frac 32}+C = \\&\\&\frac{12}{125}t^{5/2}-16t^{3/2}+C=\\&\\&t^{3/2}(0.096t-16)+C=\\&\\&(q^{3/4}+100)^{3/2}(0.096 q^{3/4}+9.6-16)+C=\\&\\&(q^{3/4}+100)^{3/2}(0.096 q^{3/4}-6.4)+C\\&\\&\text{Para q=0 debe ser C(0)=360}\\&\\&100^{3/2}(-6.4)+C = 360\\&\\&-6400+C=360\\&\\&C= 6760\\&\\&Luego\\&\\&C(q) =(q^{3/4}+100)^{3/2}(0.096 q^{3/4}-6.4)+6760\\&\\&C(25) =(25^{3/4}+100)^{3/2}(0.096· 25^{3/4}-6.4)+6760=\\&\\&1172.308722·(-5.326687371)+6760=$515.4779358\\&\\&redondeando\;$\,515.48\end{align}$$

Y lo que más fastidia es lo que se hayan estrujado la cabeza para poner una integral que nos complique la vida y no se han dado cuenta de que eso no puede ser una función de costo porque el costo variable es negativo para 25 unidades, ¡Dónde se ha visto eso!

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c)

La aproximación por diferenciales es

f(x+dx) = f(x) + dy = f(x) + f'(x)dx

tomando x=25, dx=-2

C(23) = C(25) -2·C'(25) = 515.48 - 2 · 9.49 = $496.5