Reducción de jornada laboral por cuidado de un familiar.

Soy trabajador de una empresa de tamaño grande, con contrato indefinido desde hace 20 años. Mi horario es de 22:00h a 06:00h, de lunes a viernes, y por razones de cuidado de mi padre, me veo en la necesidad de acogerme a una reducción de jornada, pero por una razón u otra, todo son escollos, por lo que les presento mi situación:

• No habiendo ninguna disposición al respecto en el convenio colectivo del sector (textil-confección), mi intención es hacer uso del artículo 37 del Estatuto de los trabajadores.
• La reducción de jornada seria de una hora diaria, un 12´5%, pasando a ser de 23:00h a 06:00h de lunes a viernes.
• Mi padre tiene 82 años, es viudo desde hace 1 año, y junto a los achaques propios de su edad, padece diferentes lesiones musculo esqueléticas, como varias hernias discales, ciática, etc. Además es jubilado, y no realiza actividad retribuida.
• Si bien no residimos en la misma vivienda, su domicilio está situado a menos de 500 metros del mío.
• Tengo una hermana que lo acompaña durante la noche, pero por razones laborales no puede hacerlo por el día, por lo que necesito hacerlo yo.

El problema surge a la hora de justificar su "dependencia". Él se vale por si solo para realizar las labores básicas de levantarse, asearse, vestirse, etc., pero es necesario una vigilancia y acompañamiento, pues acciones tan simples aparentemente como intentar hacer un café, o poner una lavadora se convierten en un riesgo. Según entiendo, me debería bastar con un informe de su médico en que refleje que dado su edad y sus patologías precisa de auxilio y acompañamiento, pero algún compañero del trabajo, con situación similar, me dice que necesita una incapacidad, y otros una invalidez, y que el informe del médico no sirve, sino que necesita una valoración de dependencia de determinado organismo, que en mi caso citan a la Xunta de Galicia.

Lo he consultado con el comité de empresa, pero lamentablemente, lejos de aclararme la situación, me la complica más, pues parece que dependiendo el sindicato al que pertenezca el delegado al que le pregunto, me da distintas respuestas, habiendo incluso quien intenta convencerme de que no lo haga.

Por lo que interpreto en el artículo 37 del Estatuto del Trabajador, no establece que para justificar la necesidad de atención de mi padre tenga que poseer un determinado grado de minusvalía, invalidez o incapacidad.

Les agradezco de antemano su ayuda, así como les pido, por favor, si pueden indicarme que pasos debería de dar para evitar la posible y previsible negativa de la empresa a reconocer mi derecho.