¿Cómo resolver el siguiente problema de integración (2)?

·

Hagamos la gráfica.

Se ve claramente que los puntos donde se cortan son (-2,0) y (0,2)

Pero si no se hiciera la gráfica deberíamos calcularlos

y = 4 - x^2

y = 8 - 2x^2

igualando

4 - x^2 = 8 - 2x^2

x^2 = 4

x = 2 y -2

Y calculamos la coordenada y

y = 4 - 2^2 = 0

y = 4 -(-2)^2 = 0

Luego los puntos de corte son (-2, 0) y (2,0) tal como muestra la figura.

Para calcular el área entre dos curvas se hace la integral de la función superior menos la inferior entre los puntos de corte

$$\begin{align}&a=\int_{-2}^2(8-2x^2-(4-x^2))dx=\\&\\&\int_{-2}^2(8-2x^2-4+x^2)dx =\\&\\&\int_{-2}^2(4-x^2)dx=\\&\\&\left[4x-\frac{x^3}{3}  \right]_{-2}^2=\\&\\&4·2-\frac 83-4(-2)+\frac{(-2)^3}{3}=\\&\\&8 - \frac 83+8-\frac 83 =\\&\\&16-\frac {16}3=\frac{48-16}{3}=\frac{32}3\end{align}$$

Y eso es todo.