Mi aseguradora no reclama daños a un tercero

Apuntas bien el motivo de este 'pase de pelota'. La causa son los acuerdos que existen entre compañías y que estipulan que los daños de un asegurado, independientemente de quien sea el culpable, lo paga la compañía de éste. Luego, entre ellas, se pagan una cantidad fija, llamada módulos. Pero al final, tu compañía es la que paga el siniestro.
Supongo que tu póliza es a terceros, si no no habría tanto lío.
La obligación de tu compañía es defenderte, y debes insistir en tu inocencia para que inicien la reclamación al contrario. Deberían seguir los trámites y, en primer lugar, peritarte el coche, y luego reclamar al contrario, llegando al juicio si fuera necesario.
Lo que pasa es que se van a agarrar a que no ven viable ganar la reclamación y te dirán que, si quieres, puedes iniciar tú la reclamación (por supuesto, con tus medios y dinero) y, si ganas, ellos te reembolsan todo.
Es un tema difícil, pero sobre todo debes insistir en que reclamen al contrario, pues es tu derecho y su obligación. Si no te hacen caso, reclama en primer lugar al servicio de atención al cliente de la aseguradora. Una vez que te contesten, si no lo hacen de forma positiva a tus intereses, recurre al Defensor del Asegurado de la compañía, quien te contestará lo que sea. Y por último, te queda la Dirección General de Seguros, a la que puedes acudir una vez que el defensor del asegurado haya emitido dictamen y no te sea favorable.
Es tedioso y un poco desalentador, y sobre todo piensa que siguiendo todo el procedimiento te puede dar un año.
No veo otra manera de que la compañía entre en razón. Se me ocurre que si hiciste la póliza a través de un mediador, al que tengas como enlace con la compañía, le digas a él que te haga las gestiones. Es lo único.
Suerte

La respuesta sale sin ningún texto, ¿podrías volver a escribirla por favor?

Vaya, pues escribí una buena parrafada... a ver si soy capaz de repetirla.
Verás, las compañías aseguradoras tienen acuerdos para la indemnización de siniestros, de modo que entre ellas se pagan una cantidad fija (llamada módulos) y se hace cargo cada una de la reparación de sus asegurados. Por ello ocurren estos temas como el tuyo. Has dado en la clave cuando dices que de ese modo ninguna paga.
Tu compañía debería defender tus derechos como asegurado y reclamar, hasta donde sea posible, la reparación de los daños, ya que debe creer tu versión.
Ahora, ¿cómo conseguir esto? Pues dando la lata a la compañía y, si tienes un agente o corredor de seguros que te haya hecho la póliza, también a él, ya que es su (nuestra) labor.
Lo que puede ocurrir es que tu compañía diga que no ve viable la reclamación al contrario y se agarre a ello para no presentarla. Te dirán que si quieres hacerlo tú por tu cuenta, lo hagas, y en caso de ganar ellos asumirían los gastos que hayas tenido. Pero claro, ya los tienes que desembolsar tú por anticipado e imagino, como estamos todos, que no hay ganas ni dinero para ello.
Los pasos a seguir si ves que no te hacen caso es: primero, al servicio de atención al cliente, donde has de poner una reclamación para que atiendan tu petición; si no es a tu favor, a continuación se acude al Defensor del Asegurado, una figura que tienen todas las compañías de seguros y que verá el caso desde un punto de vista "objetivo" (ejem..)
Si el Defensor del Asegurado hace un dictamen en tu contra, entonces solo te queda acudir a la Dirección General de Seguros, quien hará otro dictamen.
Y si después de todo esto (y por cierto, con varios meses de trámites) nada te funciona, solo te queda acudir a los tribunales con un abogado propio.
Es así de triste, pero es la realidad.
Si tienes más dudas, estoy a tu disposición.

Muchísimas gracias por la respuesta, si no te importa solo una cosita más que se me olvido al crear la pregunta:
¿Una queja en la ocu u organismo similar podría ayudar en algo?