Integrales convergentes o divergentes

Tengo que averiguar si la siguiente integral es convergente o divergente y también hallar su valor.

Tengo entendido que si el resultado me da uno es convergente y si me da infinito es divergente. Corrígeme si me equivoco.

Creo que la resolución seria mediante la integración y luego hacer su limite, pero no se dicho limite a que tendría que tender.

¿Cómo se resolvería?

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2 Respuestas

5.857.175 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

En x=2 la función se hace infinita y no se puede evaluar la integral definida mediante la regla de Barrow. Es por eso que debe calcularse el límite de la integral definida cuando x -->2-.

Si el limite existe y es finito se dice que la integral es convergente. Si es infinito se dice que es divergente. Luego cualquier valor finito del límite sirve, no solo el 1 como decías.

Se puede calcular la primitiva y luego hacer el límite. Lo que pasa es que es a veces es difícil calcular la primitiva o simplemente queremos saber solo si es convergente o no. Y para ello existen unos criterios de comparación con otras funciones que no sé si los habrás dado ya.

El criterio de Pringsheim nos dice que esta integral es divergente:

Sea f una función no negativa localmente integrable en el intervalo [a, b) con -oo<a<b<oo y tal que para algún a existe el limite

lim x-->b- de (b-x)^a·f(x) = L € [0,+oo)U{+oo}

entonces

- si a>=1 y L>0 la integral de f entre a y b diverge a +oo

- si a<1 y L distinto de +oo la integral de f entre a y b converge

En nuestro caso tomamos a =1

lim x -->2- de (2-x)(x+1)/(4-x^2) =

lim x -->2- de (2-x)(x+1)/[(2-x)(2+x)] =

lim x-->2- de (x+1)/(2+x) = 3/4

Y como a>=1 y L>0 diverge.

Sin utilizar el criterio también se puede hacer pero como ya te decía puede costar algo resolver, yo la resuelvo con un programa aunque es bastante sencilla y se puede hacer a mano.

$[(x+1)/(4-x^2)]dx =-(1/4)[ln(x+2)+3*ln(x-2)]

Y el límite cuando x-->2-

Es

-(1/4)[ln(4)+3ln(0)] =(-1/4)[ln(4)-oo] = -(1/4)(-oo) = +oo divergente

Y eso es todo.

Valero angel serrano tienes malo el limite cuando x tiende a 2 por izquierda del ln(x-2) ya que como se puede observar que en al evaluar en dos por izquierda en x-2 queda negatio entonces cuando evalúas en el Ln de un numero negativo no existe.

En mi opinión ya que la hice a mano y no se si estará mala o buena aunque ya la he revisado varias veces es convergente esa área de la función y es un Lnl4/3l evaluando la función en 2 y en 1 obteniendo este resultado. Por favor revisar bien si estoy mal yo o esta mal valero o estamos mal los dos.

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