¿Determinar si La siguiente sucesión es convergente o divergente?

Vale, ya me dijiste en la otra pregunta que eran sucesiones en R3. Comprobemos las sucesiones en cada componente.

$$\begin{align}&\lim_{k \to \infty}\frac{2k}{k!}=\lim_{k \to \infty}\frac{2}{(k-1)!}= \frac{2}{\infty}=0\\&\\&\lim_{k \to \infty}\frac{ln k}{k}=0\\&\\&\lim_{k \to \infty}\frac{k}{1.01^k}=0\end{align}$$

Luego la sucesión tiene límite (0, 0,0)

Los límites segundo y tercero son conococidos porque el denominador crece más rápido en el infinito que los numeradores. Es conocida esta cadena de límites

ln n << x^n << a^x (si a>1) << n!

Uno de más a la izquierda entre otro de más a la derecha tiende a 0.

Si no la conocieras podriás usar la regla de l'Hôpital

$$\begin{align}&\lim_{k \to \infty}\frac{ln k}{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{\frac 1k}{1}=\lim_{k\to\infty}\frac 1k=0\\&\\&\lim_{k \to \infty}\frac{k}{1.01^k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1.01^k·ln(1.01)}=0\end{align}$$

Y eso es todo.