¿Cómo demuestro este límite?

El profesor, antes de dejarme este ejercicio me estuvo hablando del "Criterio de la raíz", y me dijo que:
Límite de la raíz enésima del factorial de n, es igual al límite del factorial de n+1 dividido el factorial de n.
lim (n!)^(1/n) = lim (n+1)!/n;
He intentado buscar la demostración pero no la encuentro.
Otra pregunta que me gustaría hacerte es:
Raíz enésima de la Sumatoria expresada dividido n.
Lim (((n+1)(n+2)+...+(n+n))/n))^(1/n)
¿Puedo resolver esto mediante el criterio de raíz? Es que no me sale sólo con este criterio.
1

1 Respuesta

5.856.750 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
La verdad es que con el nombre del criterio de la raíz siempre se ha designado otra cosa que es que una serie converge si el límite de la raíz enésima del termino n es menor que 1.
Respecto a la igualdad de límites hay que mirarla con lupa. Ambos límites son infinito, pero la magnitud de los dos infinitos es incomparable:
La parte izquierda siempre será < n
La derecha será mayor que n, pero con ganas, pues será equivalente a n!
Es decir, la parte izquierda será del orden de aleph sub cero
La derecha, puesto que n! > 2^N será cuanto menos de orden aleph sub 1
Luego si colocamos una expresión como numerador y otra como denominador, si el aleph sub 1 esta en el numerador el límite sera infinito y si lo está en el denominador será cero. Aleph sub cero será completamente despreciable respecto a aleph sub 1.
--------
Para el segundo límite arreglamos un poco el sumatorio.
Por una parte tiene n veces n y por otro la suma de la sucesión 1+2+3+···+n que sabemos que su valor es:
Sn = (1+n)n/2 = n/2 + (n^2)/2
Luego tendremos
Sumatorio = n^2 + n/2 + (n^2)/2 = 3(n^2)/2 + n/2
Ahora lo dividimos por n y queda
3n/2 + 1/2
Cuando n tiende a infinito el 1/2 es despreciable
tendremos
lim n -->infinito (3n/2)^(1/n) =
lim n --> infinito (3/2)^(1/n) · n^(1/n) = 1 ·1 = 1
Bueno, a lo mejor crees que he corrido mucho diciendo que
lim n --> infinito n^(1/n) = 1
Aquí tienes una demostración:
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10113
Aunque yo te sugiero esta otra. Llamaré li al límite porque l a secás no se ve claro con esta fuente
log(li) = log (lim n -->oo n^(1/n))
log(li) = lim n-->oo log(n^(1/n))
log(li) = lim n-->oo (1/n)log(n) = 0
li = e^0 = 1
Y eso es todo. Si no entendiste algo pregúntalo y si no no olvides puntuar.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas