Resuelva la siguiente integral
Integral indefinida de [ sh^3( x ) ] dx
* seno hiperbólico a la tres de x
Fórmulas importantes:
1. Ch^2( x ) - sh^2(x) = 1
2, sh^2(x) = 1/2 ( ch(2x) - 1 )
3. Ch^2(x) = 1/2(ch(2x) +1)
4. 2sh(X)*ch(x) = sh(2x)
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Si, son fórmulas importantes, parecidas a las trigonométricas pero no iguales.
Cuando la integral sea una de las dos funciones chx o shx elevada a una potencia n impar la pones como producto de la función a n-1 por la función a la 1, la función a la n-1 es par y se puede sustituir por una expresión de la otra función ya que
sh^2(x) = ch^2(x)-1
ch^2(x) = sh^2(x) + 1
Y con el cambio t = la función que hemos puesto al sustituir. Se resuelve. Es lo mismo que se hace con las triginómetricas.
$$\begin{align}&\int sh^3(x)dx=\\ &\\ &\int sh^2x·shx\; dx=\\ &\\ &\int (ch^2x-1)shx\;dx =\\ &\\ &t =chx\quad dt=shx\, dx\\ &\\ &=\int(t^2-1)dt=\\ &\\ &\frac{t^3}{3}-t + C =\\ &\\ &\frac{ch^3x}{3}-chx+C\end{align}$$Y eso es todo.
