Resolución de integral

Estoy volviéndome loco intentando resolver esta integral, no necesito toda la resolución, solo el cambio para poder resolverla. La integral es integral definida entre cero y dos pi de fracción. Numerador 1 denominador: Raíz cuadrada de ( 1 + (2 * (sin x)^2)

El símbolo * es por

Siento no escribirlo de otra forma.

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5.857.350 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Yo lo llevo escribiendo así

$[1+2sin^2(x)]dx

Es muy probable que te estés volviendo loco si no utilizas una fórmula trigonométrica previa para sustituir la función sin^2(x).

Dicha fórmula es:

sin^2(x) = (1-cos(2x))/2

Y con eso es coser y cantar.

Esa fórmula se estudia en trigonometría, proviene de una principal que es

cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb ==>

cos(2a) = cos(a+a) = cos^2(a) - sen^2(a) ==>

sen^2(a) = cos^2(a) - cos(2a) ==>

Sumamos sen^2(a) en los dos términos

2sen^2(a) = sen^2(a) + cos^2(a) - cos(2a) ==>

2sen^2(a) = 1 -cos(2a) ==>

Ya se podía dejar así porque es lo que nosotros tenemos en la integral, aunque la fórmla que suele darse es

sen^2(a) = [1-cos(2a)]/2

Bueno, que resumiendo

$[1+2sin^2(x)]dx = $[1+1-cos(2x)]dx = $[2-cos(2x)]dx =

2x -sen(2x)/2 + C

Naturalmente que si la derivas para comprobar que está bien debes volver a usar la fórmula en sentido contrario para que te de la integral inicial.

Y eso es todo.

Buenos días de nuevo. Gracias por la rapidez, es imposible pedir ser más rápido. El camino que me propones lo he andado pero lo que sucede es que la integral que te propuse es diferente a la que me das la solución. Vuelvo a escribirla antes y después del cambio que propones.

$[1/(raíz cuadrada(1+2*(sinx)^2))]dx = $[1/(raíz cuadrada(2-cos(2*x)))]dx

gracias por anticipado.

No me dí cuenta del enunciado completo, solo me fije en el final que es donde había expresión matemática.

La integral que dices se escribiría:

$dx/sqrt[1+2sin^2(x)] entre 0 y 2PI

Deja de volverte loco, esa integral no tiene función primitiva expresable como combinación de funciones elementales. Es decir, ninguna composición de las funciones que conoces al derivarla te va a dar eso.

Lo que si se puede hacer es la integración numérica con algún programa o calculadora.

Yo la he hecho con Máxima y me da

4,68568033658708

Y eso es todo.

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