No se hacer esta integral trigonométrica...raíz cuadrada de exis^2+1 entre exis
Te pido por favor me ayudes con esta integral, no se como resolverla... Raíz cuadrada de x^2+1 / x, es por sustitución trigonométrica caso 2.
1 respuesta
Es Valero, me has puesto un nombre de la época de los romanos. Je je!
No tengo claro si la raíz lo contiene todo o no.
$$\begin{align}&a)\quad \int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx\\ &\\ &\\ &b)\quad \int \sqrt{\frac{x^2+1}{x}}dx\end{align}$$Es la primera, la segunda no tiene solución fácil o no la tiene.
Respecto a la sustitución trigonométrica caso 2 tendrías que decirme cuál es ese caso. ¿Es sustitución trigonométrica o hiperbólica? Porque la sustitución hiperbólica está clarísima mientras que con la trigonométrica vamos a ver qué pasa.
$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx=\\ &\\ &x=tg\,z\quad dx=sec^2z \\ &\\ &\\ &=\int \frac{\sqrt{tg^2z+1}}{tg\,z}sec^2z\;dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\sqrt{\frac{sen^2z}{\cos^2z}+1}}{\frac{senz}{cosz}}\frac{1}{\cos^2z}dz=\\ &\\ &\\ &\\ &\int \frac{\sqrt{\frac{sen^2z+\cos^2z}{\cos^2z}}}{\frac{senz}{cosz}}\frac{1}{\cos^2z}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\sqrt{\frac{1}{\cos^2z}}}{\frac{senz}{cosz}}\frac{1}{\cos^2z}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\frac{1}{\cos z}}{\frac{senz}{\cos z}}\frac{1}{\cos^2z}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dz}{senz·\cos^2z}\\ &\end{align}$$Y yo creo que se ha trabajado bastante ya y aun queda lo más difícil. Sería bueno que me dijeses cual es ese caso 2 para saber si estoy haciendo lo que piden o es de otra forma.
Le pido una disculpa, quise decir Valero, es la primera integral a), la raíz cuadrada solo esta en el numerador, en el denominador esta la x solita, y se resuelve por el método de sustitución trigonométrica, intente resolverla pero no me sale, en el libro aparece resuelto, no entiendo las identidades trigonométricas que usa el autor...le envío imágenes del ejercicio resuelto y los tres casos que se usan en el método de sustitución trigonométrica,...gracias! estoy preparándome para un examen de integrales, este ejercicio vendrá en la prueba!<a
><a
>
¡Uff!
Es imposible ver las imágenes, la de arriba sobre todo. Tienes que mandarlas con más resolución. Si acaso mándamelas por correo a
Bueno voy a hacerla aunque no se distingue muy bien lo que pone.
Lo primero que hay que tener clara es la equivalencia
sec^2(x) = 1+tg^2(x)
Que si no la conoces no cuesta nada demostrarla. Según convenga se usará una u otra expresión, se cambiará entre ellas,. etc.
$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx =\\ &\\ &x=tgz\quad dx = sec^2z\,dz\\ &\\ &\\ &=\int \frac{\sqrt{tg^2z+1}}{tgz}sec^2z\;dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\sqrt{sec^2z}}{tgz}(1+tg^2z)dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{sec z}{tgz}(1+tg^2z)dz=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{secz}{tgz}+secz·tgz\right)dz=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{\frac{1}{cosz}}{\frac{senz}{cosz}}+secz·tgz\right)dz=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{1}{senz}+secz·tgz \right)dz=\\ &\\ &\\ &\text{la integral de }secz·tgz \text{ es inmediata }\\ &\\ &= secz+ \int \frac{dz}{senz} \end{align}$$Y lo que queda es lo complicado.
Hay una sustitución trigonométrica universal que es
tg(z/2) = t
Pero solo hay que usarla como caso extremo, porque aparte de complicada deja unos resultados medio inservibles en función de los ángulos mitad. Por ejemplo, después es imposible comprobar al derivar que se obtiene la función original.
$$\begin{align}&\int \frac{dz}{senz}= \int \frac{senz}{sen^2z}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{senz}{1-\cos^2z}dz =\\ &\\ &\\ &t=-cosz\quad dt = senz dz\\ &\\ &\\ &=\int \frac{dt}{1-t^2}=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}\right)dt=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{a-at+b+bt}{(1+t)(1-t)}\right)=\\ &\\ &\\ &\text{luego debe ser}\\ &\\ &a-at+b+bt=1\\ &a+b=1\\ &-a+b=1\\ &a=b\\ &a=b=\frac 12\\ &\\ &\\ &=\frac 12\int \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt=\\ &\\ &\frac 12(ln|1+t|-ln|1-t|)=\\ &\\ &\frac 12(ln|1-cosz|-ln|1+cosz|)\\ &\\ &\text{le sumamos lo que habíamos calculado antes}\\ &\\ &Integral = \frac 12(ln|1-cosz|-ln|1+cosz|)+secz+C=\\ &\\ &\end{align}$$Y ahora hay que deshacer el cambio x=tgz
$$\begin{align}&\frac{senz}{cosz}=x\\ &\\ &\\ &senz = x·cosz\\ &\\ &sen^2z=x^2cos^2z\\ &\\ &1-\cos^2z = x^2cos^2z\\ &\\ &\cos^2z(x^2+1)=1\\ &\\ &cosz = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{align}$$Con esto se puede deshacer el cambio ya.
$$\begin{align}&\frac 12(ln|1-cosz|-ln|1+cosz|)+secz+C=\\ &\\ &\\ &\frac 12\left(ln\left|1-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right|-ln\left|1+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right| \right)+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}+C=\\ &\\ &\\ &\frac 12\left(ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}} \right|-ln\left| \frac{\sqrt{1+x^2}+1}{\sqrt{1+x^2}}\right| \right)+\sqrt{1+x^2}+C=\\ &\\ &\\ &\frac 12 ln \left|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1} \right| + \sqrt{1+x^2}+C=\\ &\\ &\text{multiplicando y dividiendo por}\quad \sqrt{1+x^2}-1\\ &\\ &\frac 12 ln\left|\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)^2}{1+x^2-1} \right|+\sqrt{1+x^2}+C =\\ &\\ &\\ &\frac 12 ln\left|\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)^2}{x^2} \right|+\sqrt{x^2+1}+C =\\ &\\ &\\ &ln \sqrt{\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)^2}{x^2}}+\sqrt{x^2+1}+C =\\ &\\ &\\ &ln \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{|x|} \right)+\sqrt{x^2+1}+C=\\ &\\ &\text{Yo prefiero dejarlo así}\\ &\\ &ln \left(\sqrt{1+x^2}-1 \right)-ln |x|+\sqrt{x^2+1}+C\\ &\\ &\text{es más facil de derivar para comprobarla}\\ & \\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
