Calculo. ¿Una integral difícil o solo buen álgebra?

Bueno pues tenemos la integral indefinida del libro de "Calculo Diferencial e Integral" del autor Granvillee la página 239 ejercicio 55
int(a*(e^teta)+b)/(a*(e^teta)-b)d(teta)(diferencial de teta).
La respuesta incluida en el mismo libro es: 2 ln (a*(e^teta)-b)-teta + c
En esta parte del libro se supone que se trabaja con integrales que se resuelven solamente por medio de cambio de variable. Sin embargo no logro saber como se hace por este método.
¿Alguien me podrá ayudar?
De antemano gracias.
"Nunca he conocido una persona tan ignorante de la que no pueda aprender algo" (Galileo Galilei)
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1.150 pts. Aprendiz de matematicas y programacion
Primero definamos que significa cada símbolo que usaremos:
$ --> integral
t --> theta
z --> variable de cambio
$(ae^t + b)/(ae^t - b) dt
podemos definir que:
z=e^t
ln(z)=ln(e^t)
ln(z)=tln(e) --> propiedad de logaritmos
ln(z)/ln(e)=t --> despejando t
ln(z)=t --> porque: ln(e)=1
derivando....
dt=1/z dz
Haciendo el cambio de variable obtienes que:
$(az+b)/((az-b)z) dz
Lo cual lo puedes resolver por medio de fracciones parciales y obtienes que:
$( A/(az-b) + B/(z) ) dz
lo cual te genera el sig sistema de ecuaciones:
A + aB = a
-bB = b
Asi que resolviendolo obtienes que:
B=-1
A=2a
Remplazando la integral ahora es:
$( 2a/(az-b) + -1/(z) ) dz
lo cual se divide en 2 integrales...
2$a/(az-b) dz - $1/(z) dz
resolviendo ambas obtienes:
2ln(az-b) - ln(z) + C
y siendo que z=e^t y ln(z)=t
tus resultados terminan como:
2ln(ae^t-b) - t + C
La cual es la integral que diste como respuesta...
Espero te haya sido de utilidad y buena suerte en tus estudios... nos vemos
Y por cierto... cuando vengas a cancún... invitas los chescos... jajajaja

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