Ejercicio de integral
Valeroasm tengo otro ejercicio a mi parecer algo enredado por los exponentes, me piden hallar la antiderivada de la siguiente expresión:
$$\int \left( 2^{x}3^{x}\right) / (9^{x}-4^{x})$$ayudame resolviéndolo nuevamente con cambio de variable y como tu sabes explicar: bien claro.
1 Respuesta
¿De dónde salió esta integral? Yo diría que es complicada, a no ser que os hayan enseñado un método específico para integrales de ese tipo o hayáis hecho otras parecidas. Yo no sé de ningún método particular. Así que el método que uso es complicadillo y no sé si innovador.
Primero descompongamos el denominador en factores
(9^x - 4^x) = ((3^2)^x - (2^2)^x) = (3^(2x) + 2^(2x)) = (3^x+2^x)(3^x-2^x)
Ahora intentaremos como en la integrales racionales dividirla en la suma de dos integrales simples y que sean directas. Lo que se me ocurre para que sean directas es que el numerador sea la derivada del denominador o la derivada por una constante, asi la integral de cada una sería un logaritmo neperiano. Si funciona, funciona y si no funciona, no funciona.
Entonces el integrando descompuesta sería así:
a[(3^x)ln(3)+(2^x)ln(2)]/(3^x+2^x) + b[(3^x)ln(3)-(2^x)ln(2)]/(3^x-2^x)
Poniendo de denominador común el producto de ellos, el numerador será este
a[(3^x)ln(3)+(2^x)ln(2)] (3^x-2^x) + b[(3^x)ln(3)-(2^x)ln(2)](3^x+2^x) =
a(9^x)ln(3)+a(6^x)ln(2)-a(6^x)ln(3)-a(4^x)ln(2) + b(9^x)ln(3)+b(6^x)ln(3)-b(6^x)ln(2)-b(4^x)ln(2) =
(9^x)ln(3)(a+b) + (6^x)ln(2)(a-b) + (6^x)ln(3)(-a+b) +(4^x)ln(2)(-a-b)
Y eso tiene que ser igual que el numerador del integrando que es (2^x)(3^x) = 6^x
Luego los terminos de 9^x y 4^x deben ser nulos asi que
a+b=0
-a-b=0
Simplemente se cumple con que b=-a
Y el coeficiente de 6^x debe ser 1, luego
ln(2)(2a) + ln(3)(-2a) = 1
2a[ln(2)-ln(3)] = 1
a = 1/{2[ln(2)-ln(3)]}
b = -1/{2[ln(2)-ln(3)]}
Ahora que me fijo me gusta más ponerlas de este otro modo para que la resta del denominador no de negativa
a = -1/{2[ln(3)-ln(2)]}
b = 1/{2[ln(3)-ln(2)]}
Con estos valores iríamos a cada una de las dos integrales que forman la descomposición. Pero no vamos a escribir orque es muy pesado, Estaban preparadas pra tener como integral directa el logaritmo neperiano del denominador salvo estas constantes que hemos calculado, luego la integral es
a·ln(3^x+2^x) + b·ln(3^x-2^x) + C
como a=-b podemos ponerlo todo en función de b
b[ln(3^x-2^x) - ln(3^x+2^x)] + C =
[ln(3^x-2^x) - ln(3^x+2^x)] / {2[ln(3)-ln(2)]} + C
Y eso es todo. Ya te digo que no la veía nada fácil. Si la hacéis con otro método más simple ya me lo dirás.
