Integrales calculo II
Aquí le tengo unos ejercicios ayúdeme lo más pronto posible tengo examen mañana gracias
1)¿?x^3(1-x^2)^3dx se lee = integral de x elevado al cubo (3), por 1 menos x elevado a la 2 y todo elevado a la 3(solo los que están en paréntesis)
2) ?dx/x^2(25-x^2)^1/2 se lee= integral de dx entre x elevado a la 2, por 25-x al cuadrado, todo a la 1/2 (solo los que están en paréntesis)
3) ?1/2+senx dx se lee 1 entre 2 más senx
4)¿? Cscdx
1)¿?x^3(1-x^2)^3dx se lee = integral de x elevado al cubo (3), por 1 menos x elevado a la 2 y todo elevado a la 3(solo los que están en paréntesis)
2) ?dx/x^2(25-x^2)^1/2 se lee= integral de dx entre x elevado a la 2, por 25-x al cuadrado, todo a la 1/2 (solo los que están en paréntesis)
3) ?1/2+senx dx se lee 1 entre 2 más senx
4)¿? Cscdx
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Vamos con esas integrales. El símbolo $ hará de símbolo de la integral.
1) $[(x^3)(1-x^2)^3]dx =
Nada más simple que desarrollar el binomio de Newton y el producto
$[x^3 - 3x^5 + 3x^7 - x^9]dx =
(x^4)/4 - (x^6)/2 + (3x^8)/8 - (x^10)/10 + C
----------------
2) $(dx / [(x^2)sqrt(25-x^2)] =
Hacemos el cambio
x = sqrt(z) ==> dx = dz / (2sqrt(z))
= (1/2)$dz / [z·sqrt(25-z)·sqrt(z)] = 1/2 $dz / [sqrt(z^3)sqrt(25-z)] =
Aquí es donde viene el truco, consiste en multiplicar y dividir por sqrt(z) en el denominador. El que multiplica lo metemos en sqrt(z^3) para hacer sqrt(z^4) = z^2
y el que divide lo metemos en sqrt(25-z) haciendo sqrt((25-z)/z). Con esto queda:
= (1/2) $dz / [(z^2)sqrt((25-z)/z)] =
Ahora hacemos el cambio
t^2 = (25-z) / z ==> 2tdt = [-z -(25 -z)]dz /(z^2) = -25dz/(z^2) ==>
dz/(z^2) = (-2/25) tdt
también teniamos que sqrt[(25-z)/z] = t
Y con estas dos ultimas igualdades fíjate que simple qued ael integrando
= (1/2) $(1/t)(-2/25)tdt = (1/2)(-2/25) $dt = - t/25 + C =
Deshacemos los cambios
= - (1/25)sqrt((25-z)/z) + C = -(1/25)sqrt ((25-x^2)/x^2) + C =
= -sqrt (25 - x^2) / (25x) + C
Te mando ya esto porque tengo que ir a hacer varios asuntos y tardaré en ponerme a terminar las otras dos integrales.
1) $[(x^3)(1-x^2)^3]dx =
Nada más simple que desarrollar el binomio de Newton y el producto
$[x^3 - 3x^5 + 3x^7 - x^9]dx =
(x^4)/4 - (x^6)/2 + (3x^8)/8 - (x^10)/10 + C
----------------
2) $(dx / [(x^2)sqrt(25-x^2)] =
Hacemos el cambio
x = sqrt(z) ==> dx = dz / (2sqrt(z))
= (1/2)$dz / [z·sqrt(25-z)·sqrt(z)] = 1/2 $dz / [sqrt(z^3)sqrt(25-z)] =
Aquí es donde viene el truco, consiste en multiplicar y dividir por sqrt(z) en el denominador. El que multiplica lo metemos en sqrt(z^3) para hacer sqrt(z^4) = z^2
y el que divide lo metemos en sqrt(25-z) haciendo sqrt((25-z)/z). Con esto queda:
= (1/2) $dz / [(z^2)sqrt((25-z)/z)] =
Ahora hacemos el cambio
t^2 = (25-z) / z ==> 2tdt = [-z -(25 -z)]dz /(z^2) = -25dz/(z^2) ==>
dz/(z^2) = (-2/25) tdt
también teniamos que sqrt[(25-z)/z] = t
Y con estas dos ultimas igualdades fíjate que simple qued ael integrando
= (1/2) $(1/t)(-2/25)tdt = (1/2)(-2/25) $dt = - t/25 + C =
Deshacemos los cambios
= - (1/25)sqrt((25-z)/z) + C = -(1/25)sqrt ((25-x^2)/x^2) + C =
= -sqrt (25 - x^2) / (25x) + C
Te mando ya esto porque tengo que ir a hacer varios asuntos y tardaré en ponerme a terminar las otras dos integrales.
