Ecuaciones diferenciales ¿

Reprobé matematicasy me iré a extraordinario, la razón es que esta maestra pone las ecuaciones difíciles en los exámenes y las fáciles en clase, así que no tengo la menor idea de como se hacen las ED con fracciones y raíz cuadradas.
A mi nunca me han gustado las matemáticas al contrario las odio, por eso se me dificulta más entender todo esto . Aquí tengo las guía que me dio
http://www.mediafire.com/?wtizxsixc1xpffw
Me gustaría que me ayudaran a comprenderlas y resolverlas o que me recomedara algún libro virtual que explicara bien bien como se resuelven, el examen es el 20 de mayo
estoy desesperado
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1 Respuesta

5.847.875 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Por lo que me dices el examen ya fue el 20 de mayo, así que no sé si aun quieres que responda la pregunta. Sobre libros virtuales no conozco ninguna. Tal vez si me pongo a resolver las ecuaciones tenga que buscar y encuentre alguno.
La cantidad de ecuaciones es elevada, iré contestando cuando tenga tiempo libre, no esperes todo de inmediato.
¿Entonces estudias alguna carrera que necesita matemáticas, no?
Bueno, pues eso, que iré resolviendo las ecuaciones poco a poco, me vendrá bien para repasar una asignatura que no llegué a aprobar en su momento. Precisamente también por culpa del profesor, que ya chocheaba, eran un suplicio las clases y pensé que daba lo mismo ir que no ir. A partir de ahí la comodidad se instaló en mí y ya fue todo mal.
Dada la ecuación y = x^2 + 2x - 3 determinar:
a) La pendiente de la tanguente que toca la curva en el punto X=2;

f(x) = x^2 + 2x - 3
f'(x) = 2x + 2
f'(2) = 2·2 + 2 = 6. Esa es la pendiente.
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b) Obtener la ecuación de la tanguente en el punto anterior.
La ecuación de una recta con pendiente conocida y que pasa por un punto(x0,y0) es:
y-y0 = pendiente(x-x0)
El punto (x0, y0) es (2, f(2)) = (2, 2^2 + 2·2 - 3) = (2, 5)
y - 5 = 6(x-2)
y = 6x -12 +5
y = 6x - 7
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c) Determinar el área comprendida entre x=-2 y x=3
Dada la imposibilidad de escribir símbolos matematicos especiales usaré esto
$(a,b)(f(x))dx
como integral definida entre a y b de f(x) dx
La función corta al eje X en el punto x=1
El área pedida es |$(-2,1)(x^2 + 2x - 3)dx| + |$(1,3)(x^2 + 2x - 3)dx|
= |(1/3)x^3 + x^2 - 3x| entre -2 y 1 + |(1/3)x^3 + x^2 - 3x| entre 1 y 3 =
La primera parte es:
|1 + 2 -3 - (1/3)(-8) -4 -3| = |8/3 - 7| =|-12/3|=4
La segunda
|9 + 9 - 9 - 1 - 2 + 3| = 9
El área total es 9 + 4 = 13 unidades cuadradas
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d) Expresar gráficamente los puntos anteriores.
Voy a intentar incrustar aquí el gráfico. También pongo link a su sitio en internet por si no se ve bien, hay que bajarlo o desaparece.

:81/imagen/previo/thump_6514822xcua2x3.gif[/url]
Y esto es todo por el momento. Cuando tenga más tiempo haré algo más. Si puntúas ahora tendrás que mandarme la pregunta de nuevo para poder continuar. No lo veo mala idea porque la pregunta es tan amplia que merece más de una puntuación.
Espera, que ya veo que mi empresa de hosting es un fraude, rebaja la resolución de las imágenes. Pruebo a ver con este otro lugar.


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Ejercicio II
a) dy/dx = x / (36 - 25 x^4)
Solo tiene la dificultad de calcular la primitiva, no hay que hacer nada más. Usaremos el $ como símbolo de la integral.
y = $[x/(36-25x^4)]dx =
Descomponemos el denominador en dos factores en virtud del famoso producto notable
a^2 - b^2 = (a+b) (a-b)
= $(x / [(6+5x^2)(6-5x^2)])dx =
Ahora el cambio
t = 5x^2 ==> dt = 10x dx ==> x dx = dt/10
= (1/10)$(dt / [(6+t)(6-t)] =
Ahora queremos ponerlo como suma de dos fracciones con numeradores numéricos a y b y denominadores (6+t) y (6-t), es decir a/(6+t) + b(6-t)
entonces, aplicando el algoritmo de la suma de fracciones, tendremos:
a(6-t) + b(6+t)= 1
(b-a)t + 6a+6b = 1 => b-a = 0 y 6a+6b = 1 => a = b y 12a= 1 => a = 1/12 y b = 1/12
Con esto, nuestra integral queda:
(1/10)(1/12) $[1/(6+t) + 1/(6-t)]dt = (1/120) (ln|6+t| - ln|6-t|) + C =
Y deshaciendo el cambio:
= (1/120)(ln|6+5x^2| - ln|6-5x^2|) + C
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b) dy / dx = (1/4) y2x
Es de variables separadas, pasamos todo lo relacionado con cada variable a un mismo lado
dy / y =(1/4)2x dx = (x/2) dx
Ahora integramos en cada lado respecto de su variable
ln y = (x^2)/4 + C
exponenciamos el número e a lo de ambos lados
e^(ln y) = e^((x^2)/4 + C)
y = e^((x^2)/4 + C)
y = e^((x^2)/4)· (e^C)
si llamamos k = e^C queda mejor
y = ke^((x^2)/4)
La ecuación pasa por (-1,4) luego
4 = k e^(1/4) ==>
k = 4 /e^(1/4) = 4 /1,2840254 = 3,1152031
Luego la solución pasando por (-1, 4) es y = 3,1152031 · e^((x^2)/4)
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c) dy/dx = -3sen(6x^3) (x^2)
De nuevo no hay que hacer más que la primitiva para resolver
$-3(x^2)sen(6x^3)dx=
Es medio inmediata. La derivada de 6x^3 es 18x^2 tenemos eso dividido por 6. La derivada del cosx es -senx, y lo tenemos incluso con el signo, luego
y= [cos(6x^3)] / 6 + C
Comprobar significa derivar respecto de x
dy/dx = (1/6) (-sen(6x^3)) · 18 x^2 =-3sen(6x^3)(x^2) que era tal como lo ponía.
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Segundo examen
Resolver por el método de homogéneas:
x · dy/dx = 4y
No sé que quiere decir con resolver por el método de las homogéneas, cuando la ecuación es claramente de variables separables y acabaríamos antes, pero vamos a hacer el paripé.
Hay que hacer dy/dx igual a una función de (y/x) y eso es fácil
dy/dx = 4(y/x)
Ahora hay que hacer el cambio u = y/x, es decir y = ux con lo cual
dy/dx = u + x du/dx
y haciendo el cambio tendremos
u + x du/dx = 4u
x du/dx = 3u
du/3u =dx/x
(1/3)ln(3u) = ln x + C
ln [3u ^(1/3)] = ln x + ln k = ln(kx)
3u^(1/3) = kx
Deshacemos el cambio.
3(y/x)^(1/3) = kx
elevamos al cubo
27 y/x = (kx)^3
y = [x(kx)^3] / 27
llamemos C a k^3
y = C(x^4)/27
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Resolver por el método de exactas:
a) y(1+cosxy)+x(1+cosxy)dy =0
Falta dx, se supone que está tras el primer miembro.
y(1+cosxy)dx +x(1+cosxy)dy = 0
Primero comprobamos que es una ecuación diferencial exacta. Para ello la parcial del primer miembro respecto a y debe ser igual a la parcial del segundo respecto a x. Py significará parcial respecto a y Px parcial respecto a x.
Py[y(1+cosxy)] = (1+cosxy)-yxsenxy
Px[x(1+cosxy)] = (1+cosxy) -xysenxy
Lo dejo aquí de momento. Tengo que ir a dormir y de esto no me acuerdo de nada de nada, tendré que repasar para resolverlo.

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