Problema eléctrico

Hola, ante todo gracias por estar ahí ayudando a los menos expertos .Tengo un Hyundai Matrix gasolina y automático y el problema que tiene empezó hace un par de meses, al darle arranque durante el primer segundo parecía como si no tuviese batería pero enseguida el motor de arranque reaccionaba y el coche iba de lujo .Hace unos días la batería se me descargo por completo y el motor de arranque no hacia absolutamente nada, le cambie la batería por la del coche de un amigo y al intentar arrancar se escucha como si el motor de arranque quisiese arrancar pero en menos de un segundo empieza a hacer un ruido como a dos engranajes que no llegan a acoplar o a un relé abrindo y cerrando muy rápidamente.Mi pregunta es :¿El qué la batería se descargue puede ser síntoma de motor de arranque?(Se descargo de un día para otro sin uso). Si fuese un coche con caja manual lo empujaría y si arrancase por descarte el problema seria exclusivamente del motor de arranque pero al ser automático no se si lo puedo empujar. Perdón por la extensión de la pregunta y desde ya muchas gracias.