Álgebra
Bueno tengo un problema con la definición de ¿espacio matricial?
subespacios de espacio matricial .
¿Espacio de funciones polinomiales?
subespacios de el espacio polinomial.
Lo que pasa es que este fin de semana ya no puede acudir a la biblioteca de la escuela y estuve buscando en internet y solo encuentro definiciones de espacio vectorial real pero ese tema ya lo vi ahora ocupo hacer algunos ejemplo de lo que estoy preguntándole pero si no se que es pues entonces si que estoy en apuros bueno espero que pueda tener algún apunte por ahí y gracias
subespacios de espacio matricial .
¿Espacio de funciones polinomiales?
subespacios de el espacio polinomial.
Lo que pasa es que este fin de semana ya no puede acudir a la biblioteca de la escuela y estuve buscando en internet y solo encuentro definiciones de espacio vectorial real pero ese tema ya lo vi ahora ocupo hacer algunos ejemplo de lo que estoy preguntándole pero si no se que es pues entonces si que estoy en apuros bueno espero que pueda tener algún apunte por ahí y gracias
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
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Tu problema es que asocias el concepto de vector y espacio vectorial al concepto de vector geométrico donde un vector es el segmento dirigido que une un punto de R3 con otro punto de R3, y en donde el módulo de un vector es lo que mide tal segmento.
Y esto es cierto, pero la geometría sólo es una visualización del álgebra, siendo el álgebra un concepto algo más abstracto (sin necesidad de tener una visualización geométrica).
Un vector no es más que un elemento de un espacio vectorial, siendo éste un conjunto de elementos V en el que definimos una serie de operaciones sobre otro conjunto QUE que es un cuerpo (habitualmente K=R, conjunto de los reales o K=C, conjunto de los complejos)
En el conjunto QUE hay definidas dos operaciones internas(suma + y producto *) que cumplen muchas propiedades:
Asociativa, conmutativa, distributiva, elemento neutro..., tales como cumplen la suma y producto de reales y complejos.
En el conjunto V (sea R3, M2:conjunto de matrices de orden2, P2:conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2), se definen a su vez dos operaciones:
+:VxV-->V
interna que ha de cumplir, para todo u,v,w de V:
1º Asociativa: (u+v)+w=u+(v+w)
siendo u,v,w elementos de V
2º Conmutativa: u+v=v+u
3º E. neutro: Existe é único tal que
u+e=e+u=u
4º E simétrico: Existe u' único tal que
u+u'=e
y un producto de un escalar (elemento del cuerpo K)
·:KxV-->V
Que debe cumplir para tdo a, b, c del cuerpo QUE (en el que ya hay definido un producto * de escalares y una suma + de escalares)
1º (a*b)·u=a·(b·u)
Nota los diferentes productos:* escalar por escalar; ·:escalar por vector
2º (a+b)·u=a·u + b·u
NOTA:Aunque sólo hemos usado un símbolo para la suma, aquí hay dos sumas completamente diferentes:suma de vectores y suma de escalares
3º a·(u+v)=a·u+a·v
4º 1·u=u
(Algo que parece tan obvio no lo es, de la misma forma que existe una consecuencia, que dice que:
0·v=0
Desde el momento que el primer cero es el cero de K(neutro para su suma), y el último es el cero de V(neutro para su suma).
En fin, tanto la suma habitual de vectores de R3 como la de matrices, como la de polinomios cumplen todas estas propiedades, así que todos ellos son espacios vectoriales con sus operaciones.
Sólo déjame recordarte una cosa que me enseñó mi primer profesor de álgebra:El álgebra es un castillo. Las primeras lecciones (como la definición de espacio vectorial) son conceptos que han de tenerse muy claros. Son leccines que apenas ocupan dos hojas, pero que si no se entienden muy bien, el castillo se edifica con naipes, y a mitad del castillo se derrumba y te das cuenta que no has aprendido nada. Yo pasé muchas semanas antes de entender bien el concepto de espacio vectorial ( un par de páginas), pero si elaboras tu castillo con bloque sólidos, verás que luego el asunto es muy sencillo.
Todo tiempo que emplees en entender bien el concepto de espacio y subespacio no es tiempo perdido. Si tienes cualquier duda no dudes en preguntar.
Un saludo y suerte: el tema es apasionante.
Mikel
Y esto es cierto, pero la geometría sólo es una visualización del álgebra, siendo el álgebra un concepto algo más abstracto (sin necesidad de tener una visualización geométrica).
Un vector no es más que un elemento de un espacio vectorial, siendo éste un conjunto de elementos V en el que definimos una serie de operaciones sobre otro conjunto QUE que es un cuerpo (habitualmente K=R, conjunto de los reales o K=C, conjunto de los complejos)
En el conjunto QUE hay definidas dos operaciones internas(suma + y producto *) que cumplen muchas propiedades:
Asociativa, conmutativa, distributiva, elemento neutro..., tales como cumplen la suma y producto de reales y complejos.
En el conjunto V (sea R3, M2:conjunto de matrices de orden2, P2:conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2), se definen a su vez dos operaciones:
+:VxV-->V
interna que ha de cumplir, para todo u,v,w de V:
1º Asociativa: (u+v)+w=u+(v+w)
siendo u,v,w elementos de V
2º Conmutativa: u+v=v+u
3º E. neutro: Existe é único tal que
u+e=e+u=u
4º E simétrico: Existe u' único tal que
u+u'=e
y un producto de un escalar (elemento del cuerpo K)
·:KxV-->V
Que debe cumplir para tdo a, b, c del cuerpo QUE (en el que ya hay definido un producto * de escalares y una suma + de escalares)
1º (a*b)·u=a·(b·u)
Nota los diferentes productos:* escalar por escalar; ·:escalar por vector
2º (a+b)·u=a·u + b·u
NOTA:Aunque sólo hemos usado un símbolo para la suma, aquí hay dos sumas completamente diferentes:suma de vectores y suma de escalares
3º a·(u+v)=a·u+a·v
4º 1·u=u
(Algo que parece tan obvio no lo es, de la misma forma que existe una consecuencia, que dice que:
0·v=0
Desde el momento que el primer cero es el cero de K(neutro para su suma), y el último es el cero de V(neutro para su suma).
En fin, tanto la suma habitual de vectores de R3 como la de matrices, como la de polinomios cumplen todas estas propiedades, así que todos ellos son espacios vectoriales con sus operaciones.
Sólo déjame recordarte una cosa que me enseñó mi primer profesor de álgebra:El álgebra es un castillo. Las primeras lecciones (como la definición de espacio vectorial) son conceptos que han de tenerse muy claros. Son leccines que apenas ocupan dos hojas, pero que si no se entienden muy bien, el castillo se edifica con naipes, y a mitad del castillo se derrumba y te das cuenta que no has aprendido nada. Yo pasé muchas semanas antes de entender bien el concepto de espacio vectorial ( un par de páginas), pero si elaboras tu castillo con bloque sólidos, verás que luego el asunto es muy sencillo.
Todo tiempo que emplees en entender bien el concepto de espacio y subespacio no es tiempo perdido. Si tienes cualquier duda no dudes en preguntar.
Un saludo y suerte: el tema es apasionante.
Mikel
