Necesito que me resolváis mis problemas de física sobre movimiento circular

Hola eudemo, podrías ayudarme a resolver este problema.
De antemano agradezco tu respuesta.
Una pequeña esfera de masa "m" ha sido atada a 2 clavos sobre una mesa horizontal lisa mediante dos ligamentos de iguales características (L= longitud; T= tensión).
Si de pronto la esferita es apenas separada transversalmente y luego soltada se produce un M.A.S.Hallar su periodo.
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Respuesta
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La fuerza que tiende a regresar la esferita a la posición inicial es:
F = -T . sen alfa = -T . x/L = -T/L x
pero el seno del ángulo alfa es igual a x/L (cateto sobre hipotenusa) y entonces :
F = -T.x/L
F = - T/L . x
Por otra parte F = m.a Entonces queda:
m . a = -T/L x
Ahora despejamos la aceleración:
a = T/(mL) x
Pero a es la derivada segunda de x con respecto del tiempo:
d2x/dt2 = -T/(mL) x
Que es la ecuación diferencial del movimiento. Cuando una variable, en este caso por, resulta proporcional a su derivada segunda cambiada de signo, el movimiento es un M.A.S. con pulsación w igual a la raíz cuadrada del factor de proporcionalidad.
x = Amplitud sen (w t)
donde
w = Raíz [ T/(mL) ]
el período es igual a:
2 Pi/w= 2 Pi Raíz [ mL/T ]
Hola, la resolución es fantástica pero acá tengo una pequeña duda. Es sobre un problema similar al resuelto:
Por un alambre encorvado de radio R se puede deslizar libremente una masa m, si la masa se suelta desde una amplitud alfa (pequeñísima)se produce un M.A.S.Halla su periodo.
Así lo planteé:
La fuerza recuperadora seria F=-T seno (alfa)
Donde seno (alfa)=x/R
LUego a =-Tx/Rm
entonces por tratarse de un M.A.S
W= raìz(T/Rm)
Luego Periodo =2pi raíz(Rm/T)
Pero como en las alternativas se encontraba la tensión desarrollada, luego T = mg cos (alfa), acá viene mi duda. ¿Es correcto decir que la hipotenusa es igual al cateto opuesto por lo que el coseno (alfa)=1 y quedaría la respuesta final así: Periodo= 2pi raíz(R/g)?
Gracias por tu respuesta
Tu pregunta es muy apropiada.
La fuerza en este problema es la misma que en un péndulo. En ambos casos la trayectoria del cuerpo es un arco de circunferencia con "pequeñísima" amplitud.
Para hallar la fuerza recuperadora, antagónica al desplazamiento, basta proyectar el peso en "dirección del movimiento". Es decir que
F = - P sen(alfa)
F = - mg x/R
a = - (g/R) x (1)
Si la "amplitud es pequeña", esto implica que:
w^2 = g/R
T = 2 Pi Raíz(R/g)
De la misma forma que en el péndulo donde R = L (longitud del hilo).
**********************************
Pero analicemos mejor lo que ocurre. Volvamos a la formula (1)
a = - (g/R) x
Esta fórmula es en realidad una ecuación diferencial, en donde la aceleración "a" es la derivada segunda del recorrido a lo largo del camino.
RESORTE
El caso típico es el de un resorte de constante k con una masa m en el exremo.
En ese caso:
a = -(k/m) x
d2x/dt2 = -(k/m) x
Cuando la derivada segunda es proporcional a la función con el signo cambiado, la solución es un movimiento armónico. La función A sen(wx) lo cumple ya que
la derivada segunda de A sen(wx) es - w^2 A sen(wx).
En el caso de un resorte la masa describe exactamente un M.A.S.
Péndulo
En el caso del péndulo la trayectoria no es una recta. El cuerpo se mueve a lo largo de un arco de circunferencia, no a lo largo de la horizontal x.
En la ecuación (1)
a = -(g/R) x
Ahora la aceleración es la derivada segunda no de x sino de "s" que es el recorrido a lo largo del arco y vale
s = R.alfa
d2s/dt2 = -(g/R) x
donde x y s no son lo mismo.
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RESOLUCIÓN EXACTA para grandes amplitudes
Si dejamos todo en función de alfa queda:
d2(R.alfa)/dt2 = -g sen(alfa)
d2(alfa)/dt2 = -(g/R) sen(alfa)
que se resuelve con series infinitas (muy difícil)
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RESOLUCIÓN INEXACTA para pequeñas amplitudes
Vuelta a lo anterior. Si desde aquí queremos volver la caso de "pequeñas amplitudes" aplicamos lo siguiente :
Para alfa pequeño es;
sen(alfa) = alfa
tg(alfa) = alfa
cos(alfa)= 1
Es decir que los catetos horizontales se toma iguales al arco y el cateto mayor se toma igual a la hipotenusa. De allí que tu supuesto error no era tal.

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