Necesito que me ayudéis a resolver un problema de física sobre cinética

Un cuerpo que vibra con un MÁS se encuentra a una distancia del origen igual a la mitad de la amplitud. ¿Qué porcentaje de su energía es cinética y que porcentaje es potencial?
Respuesta
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Partimos de la ecuación de un movimiento armónico simple (MÁS) en una sola dimensión, que nos dice que la posición por es una función senoidal del tiempo t:
x=A.sen(wt+q)
Donde A es la amplitud del movimiento (la posición más alejada del origen) y w es la frecuencia angular (equivalente a 2.PI/T siendo T el periodo del movimiento que es el tiempo empleado en completar un ciclo del movimiento).
Que es un ángulo constante llamado fase que vale 0 si el cuerpo inicia el movimiento desde el origen y que vale PI/2 si lo hace desde la posición más alejada A. Los valores de que distintos de 0 y PI/2 indican posiciones iniciales intermedias entre el origen y la máxima amplitud (hacia un lado A o hacia el otro -A).
Esta expresión es por tanto genérica para cualquier MÁS que se inicie en cualquier posición del ciclo. También se puede expresar como coseno en lugar de como seno y entonces que será PI/2 si el cuerpo sale desde el origen y será 0 si el cuerpo sale desde el punto más alejado, al revés que con el seno).
La velocidad es la primera derivada de la ecuación anterior respecto al tiempo:
v=w.A.cos(wt+q)
Y la aceleración es la segunda derivada:
a=-w^2.A.sen(wt+q) (utilizo ^2 para indicar el cuadrado). Y como A.sen(wt+q) es x se puede expresar como:
a=-w^2.x
Obtengamos ahora las expresiones de la Energía Cinética y la Energía Potencial en cualquier punto del ciclo.
La Energía Potencial se obtiene integrando la fuerza a lo largo de la trayectoria entre el origen (x=0) y el punto que estamos estudiando (y en realidad sólo depende de este punto si en el movimiento no intervienen fuerzas no conservativas).
Como la fuerza es masa por aceleración:
F=m.a=m.w^2.x
Entonces la Energía potencial es:
Ep=(1/2).m.w^2.x^2
La Energía Cinética es por definición:
Ec=(1/2).m.v^2
Y sustituyendo la expresión de la velocidad v:
Ec=(1/2).m.w^2.A^2.[cos(wt+q)]^2
El problema nos pide los valores cuando por es la mitad de la amplitud: x=A/2, así que sustituimos este valor en las expresiones anteriores y obtenemos:
Ep=(1/2).m.w^2.(A/2)^2=(1/8).m.w^2.A^2
Como x=A.sen(wt+q) y x=A/2 entonces sen(wt+q)=1/2 y por la relación entre seno y coseno:
[cos(wt+q)]^2+[sen(wt+q)]^2=1;
[cos(wt+q)]^2=1-1/4=3/4
Y la Energía Cinética resulta ser:
Ec=(1/2).m.w^2.A^2.3/4=(3/8).m.w^2.A^2
Si dividimos Ec por Ep tenemos:
Ec/Ep = (3/8)/(1/8) = 3
Así que Ec=3Ep, y como la energía total es la suma de ambas:
E = Ec + Ep = 3Ep + Ep = 4Ep, entonces:
Ep = E/4, esto es un 25% de la energía total y
Ec = 3E/4, esto es un 75% de la energía total.
Si hubiéramos escogido la expresión del MÁS como coseno en lugar de como seno la resolución del problema seguiría pasos análogos y los resultados son los mismos.

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