A un muelle helicoidal..

A un muelle helicoidal se le cuelga un cuerpo de 10 Kg y este se alarga 2 cm. Después se le añaden otros 10 Kg y se le da un tirón hacia abajo de modo que el sistema empieza a oscilar con un amplitud de 3 cm. Calcular:
a) La frecuencia del movimiento
b) La velocidad, acelaeracion y fuerza recuperadora a los 2 seg de haber empezado a oscilar.

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1
Otra vez, whoracle:
a) Con la primera frase del enunciado obtienes la constante elástica del muelle k. Por Hooke:
F = -k*x
Donde F es la fuerza ejercida por el muelle cuando se larga una distancia x. En este caso cuando se alarga 2cm está equilibrando un peso de 10kg, osea, está ejerciendo una fuerza m.g = 10.9,81N en sentido contrario al movimiento. Así que:
k = - F/x = (10*9.81/0.02)N/m = 4905N/m
Ahora se colocan 10kg más, esto es, la masa sube a 20kg y se le comunica un movimiento armónicos simple (MÁS) de amplitud 3cm. La frecuencia de este movimiento sólo depende de la constante elástica k del muelle y de la masa total m. Esto resulta de resolver la ecuación:
m*a - k*x = 0
Que iguala la fuerza de Hooke k*x del muelle con el producto de la masa por la aceleración de dicha masa m*a.
A es la derivada segunda de x con respecto al tiempo y se expresa a = x".
x" - (k/m)*x = 0
La solución de esta ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es:
x = A*cos[raiz(k/m)*t] = A*cos(w*t)
donde A es la amplitud del movimiento y w es la frecuencia angular.
El periodo del movimiento vale:
T = 2*pi/w
y la frecuencia es la inversa del periodo:
f = 1/T = w/(2*pi)
sustituyendo valores:
f = raiz(k/m)/(2*pi) = raiz(4905/20)/(2*pi)
f = 2.49 ciclos/s
b) A los 2s de haber comenzado a oscilar:
la velocidad se obtiene derivando la expresión de x = A*cos(w*t).
v = x' = -A*w*sen(w*t)
A = 0.03m
w = 2*pi*f = 15.65 rad/s
t = 2s
v(t=2s) = -0.03*15.65*sen(31.29)
v(t=2s) = 0.06m/s
La aceleración es:
a = x" = -A*w^2*cos(w*t)
a(t=2s) = -0.03*(15.65^2)*cos(31.29)
a(t=2s) = -7.29m/s^2
La fuerza recuperadora es:
F = -k*x = -k*A*cos(w*t)
F(t=2s) = -4905*0.03*cos(31.29)
F(t=2s) = -146N
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1
Todo muelle está definido por una constante QUE que es una magnitud que define su elasticidad.
La ley de Hooke expone que si estiramos o encogemos un muelle, éste responderá con una fuerza recuperadora proporcional a la deformación. La constante de proporcionalidad es K.
De esta manera, en un laboratorio, para calcular K, basta con colgar una masa conocida de un muelle y sin dejarlo oscilar medir el alargamiento del muelle. Debido al equilibrio de fuerzas
Peso = K*alargamiento
mg = K*alarg
K = mg/alarg
En tu caso m=10Kg y alarg=2cm=0.02m
K = 10*9.8/0.02 = 4900 Nw/m
Posteriormente, si estiramos el muelle nuevamente y lo soltamos, el sistema empezará un M.V.A.ES (Movimiento vibratorio armónico simple), cuya elongación será
y(t)=A*sen(Wt+Phio)
Para calcular el desfase inicial Phi0, tenemos en cuenta de dónde parte el movimiento. En tu caso, al empezar el movimiento desde abajo, es decir, cuando t=0, y=-A ( tomando el origen en la posición de equilibrio y el eje hacia arriba)
y(0)=-A=Acos(Phio)
cos(Phio)=-1
Phio=-90º=-PI/2
O sea, la ecuación nos quedará
y(t)=A*sen(Wt-PI/2)
Pero como
sen(A-B)=senAcosB-cosAsenB
sen(Wt-PI/2)=sen(Wt)cos(PI/2)-cos(Wt)sen(PI/2)=-cos(Wt)
Luego
y(t)=-Acos(Wt)
Derivando sacamos la velocidad del M.V.A.S
V(t)=AWsen(Wt)
Y derivando de nuevo la aceleración
a(t)=A*W^2*cos(Wt)
Multiplicando por la masa, sacamos la fuerza
F = m*a = m*A*W^2*cos(Wt) = -m*W^2*y
Pero como según la ley de Hooke F=-K*y
-m*W^2*y = -K*y
K = m*W^2
W = sqrt (K/m)
Es decir, la frecuencia angular del M.V.A.S depende de la constante del muelle y de la masa una vez que mpieza el movimiento ( En este caso los 10+10=20Kg)
En nuestro caso
W=sqrt(K/m)=sqrt(4900/20)=15.65 rad/sg
Es decir las ecuacines de nuestro movimiento nos quedará, en cm, cm/sg,cm/sg^2
y(t)=-Acos(Wt)=-3cos(15.65t)
V(t)=AWsen(Wt)=46.96sen(15.65t)
a(t)=AW^2*cos(Wt)=735cos(15.65t)
a)Frecuencia
La frecuencia f está relacionada con la frecuencia angular W
W=2*Pi*f
f=W/2Pi=15.65/2Pi= 2.49 Hz
b)Aplicando las ecuaciones de V y a en un t=2sg
CUIDADO: Debes tener la calculadora programada en radioanes
V(t)=46.96sen(15.65t)
V(1)=46.96*sen(15.65*2)=
V(1)=-5.2 cm/sg
a(t)=AW^2*cos(Wt)=735cos(15.65t)
a(1)=735cos(15.65*2)=730.5 cm/sg
Para calcular la fuerza (pasando a a m/sg)
F=m*a=20*7.3=146 Nw

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