Estoy de baja y me quiero ir de la empresa

Ante todo quiero darle las gracias por su respuesta, le cuento mi caso y haber que puedo hacer.
Soy conductor de carretilla elevadora y ya he sufrido algún dolor de espalda anteriormente, el pasado día 6 de agosto, me dolía la espalda y le dije a mi encargado que me iba al medico, fui a urgencias y me remitieron a la mutua, ya que se tratata de una cervicalgia mecánica, originada por el trabajo, en la mutua me vieron y me dieron la baja por enfermedad laboral, me diero el parte de accidente para que lo firmara la empresa, se lo di y me lo sellaron sin problema. Paso todo el mes de agosto de baja por la mutua y a primeros de septiembre me dan el alta y me dicen que me vaya a mi medico, por que sufro de artrosis en la columna, actualmente sigo de baja por enfermedad común, aunque he recurrido el alta de la mutua. Pero bueno una vez puesto en antecedentes voy a mi duda.
A fecha de hoy ni la mutua ni la empresa me han pagado el mes de agosto, la empresa me dice que es cosa de la mutua y la mutua tras haberles presentado la documentación que me solicitaron, junto con una denuncia a la inspección de trabajo, me dicen que no me pueden pagar por que no tienen el parte del accidente de la empresa, que la empresa no se lo quiere dar. Por parte de la empresa solo me dan largas.
He encontrado otro trabajo, y quiero empezar el día 6 de octubre, me gustaría saber si al no avisarles con 15 días, me pueden descontar de lo que me deban de agosto, y si una vez que me vaya, puedo seguir reclamando lo que me deben.