Medidas lados hexágonos y pentágonos icosaedro truncad
3 respuestas
El icosaedro truncado se forma truncando los 12 vértices de un icosaedro. Cada arista queda reducida a la tercera parte de la del icosaedro original puesto que las caras triangulares pasan a convertirse en hexágonos inscritos en ese triángulo.
V
B B
B B
V B B V
Más o menos se ve en el dibujo, V son los vértices originales del icosaedro y B los que quedan al truncar. Aparte de los 20 hexágonos, que salen de los 20 triangúlos equilateros que había, se forman 10 pentágonos puesto que en cada vértice truncado confluían 5 aristas. Por cuestiones de que el triángulo original era equilátero y el hexágono posterior regular no cuesta demostrar que VB = BB y que por tanto BB es VV/3. O sea, lo que decía, que la arista queda reducida a la tercera parte.
Ahora vayamos a la wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Icosaedro#Coordenadas_cartesianas_y_estructura
Nos aparecen las coordenadas de los vértices del icosaedro original centrado en (0,0,0).
A la razón aúrea = (1+sqrt(5))/2 yo la llamaré "au" porque los símbolos escritos aquí fallan más que una escopeta de ferias.
Yo me he fijado en el vértice (0,1, au) y le he buscado un vértice adyacente. Ha sido cuestión de paciencia y hacer un mini programa de ordenador que calculaba distancias para averiguar que los cinco vértices adyacentes son:
(0,-1,au), (1,au,0), (-1,au,0), (au,0,1) y (-au,0,1) que están a distancia 2
Luego otros 5 a distancia 3,236068
Y el más lejano el (0,-1,-au) a 3,804226
Me basta tomar uno de los adyacentes, y formamos esta pareja de vértices:
(0,1,au) y (0,-1, au)
Al truncar en esa arista, los vértices nuevos que se crean en el icosaedro truncado serán:
(0,1/3,au) y (0,-1/3,au)
Y la longitud de la arista es 1/3 -(-1/3) = 2/3
Todos los vértices del icosaedro truncado tocan a la esfera envolvente, estos dos también. Y están en el plano x=0 que corta a esa esfera como un meridiano. Luego la esfera envolvente tiene una circunferencia máxima en la circunferencia con centro (0,0,0) y que pasa por estos vértices.
La distancia de uno cualquiera de ellos al centro es el radio:
r = d((0,1/3,au),(0,0,0)) = sqrt((1/3)^2+ au^2)) = sqrt(1/9 + 1/4 + 5/4 + sqrt(5))
r = sqrt(29/18 + sqrt(5))= 1,9614227 más o menos
Después de todo este camino hemos llegado a que un icosaedro truncado con radio
1,9614227 tiene aristas de 2/3 de longitud.
Cojamos nuestro balones
El de 70 cm de diámetro tiene 35 de radio
Si a 1,9614227 le corresponde 2/ 3
A 35 cm le corresponden x
x = 35(2/3)/1,9614227 = 11,896127 cm de arista
Al de 50 cm que son 25 de radio le corresponden
x =25(2/3)/1,9614227 = 8,4972335 cm de arista.
Esas son las aristas en los balones, son las mismas para los hexágonos que los pentágonos.
Si quieres calculamos el areá de ellos:
El hexágono son 6 triángulos equilateros de lado la arista (a) y la altura es tal que
h^2+(h/2)^2 = a^2 por el teorema de Pitágoras.
Dado lo complicado del problema principal, que ya me hecha humo la cabeza, te dejo que esto lo hagas tú.
Y para el pentágono el área es aproximadamente:
A = 1,72048·a^2 tal como pone en la wikipedia buscando pentágono.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido.
¡Por cierto, has puesto que los diámetros eran 70 y 50 centímetros! Pero que barbaridad, imagino que has querido decir que eso era la circunferencia. Vamos de nuevo al problema.
Si tiene 70 cm de dircunferncia eso son 2·pi·r luego
r = 70/(2pi) = 70/6,2831853 = 11,140846 cm de radio y la arista será:
a = 11,140846(2/3)/1,9614227 = 3,7866548 cm de arista
Al de 50 cm de circunferencia le corresponde
r = 50/(2pi) = 70/6,2831853 = 7,9577472 cm de radio y la arista será:
a = 7,9577472(2/3)/1,9614227 = 2,7047534 cm de arista
Y ahora si que es todo. Espero que te siva y lo hallas entendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta. Me avisas también si he tenido algún fallo o tienes alguna duda.
Sí que quería decir diámetro, puesto que es una simulación de un balón de fútbol en tamaños bastante grandes, de ahí que necesite saber las medidas de las aristas de los hexágonos y pentágonos para poder pintarlos en la superficie de las circunferencias.
Un saludo y muchísimas gracias.
Pues ya que tengo un poco de tiempo te pongo la fórmula que relaciona el tamaño de la arista con el radio del balón.
a = (2/3)/1,9614227· r
a = 0,3398893·r
También el area del hexagono:
h^2+(h/2)^2 = a^2
(5/4)h^2 = a^2
h = sqrt ((4/5)a^2) = 2a/sqrt(5)
Tanto en función de la arista como del radio del balón:
Area hexágono = 6·a·h/2 = 6·a·2a/(2·sqrt(5)) = 2,6832816·a^2
Area hexágono = 2,6832816· (0,3398893·r)^2 = 0,3099854·r^2
El área del pentágono que ya te digo que me fío de Wikipedia porque no es muy sencilla:
Area pentágono = 1,7204774·a^2
Area pentágono = 0,1987577·r^2
Y para terminar ya no cuesta nada calcular la superficie del balón que aproximadamente es la del icosaedro,:
Area Balón = la de 20 hexagonos + 12 pentagonos
Area balón = 20·2,6832816·a^2 + 12·1,7204774·a^2 = 74,311361·a^2
Area balón = 20·0,3099854·r^2 + 12·0,1987577·r^2 = 8,5848004·r^2
Recuerdo que con r me estoy refiriendo to el rato al radio del balón.
Y ahora ya lo dejo. Vete digeriéndolo si puedes. Y no olvides puntuar y cerrar la pregunta por amor de Dios.
En el primer bloque de la respuesta, en el tercer párrafo dice que se forman 10 pentágonos. En realidad son 12.
Si, se vuelve al enlace a la wikipedia arriba mostrado, se ve como son los doce vértices del icosaedro. Para cada uno existe el vértice opuesto por el centro, el que tiene las mismas coordenadas con signos cambiados. Eso significa que todas las aristas también tienen simetría central. Al truncar se recortan segmentos de igual longitud en cada arista para aparecer nuevos vértices, eso también sucede en las aristas opuestas y por cada vértice nuevo que aparece también aparece su opuesto con los signos cambiados y equidistante del (0,0,0). Cuando 60 vértices equidistan de (0,0,0) estando en no sé cuántos planos distintos..., ¿podría decirme alguien medianamente sensato qué (0,0,0) no es el centro?
Y eso es todo. Me estás dando tiempo a meditar mucho y añadir nuevos comentarios mientras espero que puntúes para cerrar la pregunta. Créeme que es la pregunta a la que más esfuerzo he dedicado y más innovadora y gratificante ha sido para mí. Pero ya va siendo hora de dejarla atrás.
Aparte que este es de los problemas que más me ha costado y más elaborado está. Que debería ser ejemplo y estar expuesto en el tablón. Está muriéndose de asco metido en un cajón.
¡Haz el favor!
Siento no haber contestado antes, pero soy nueva en este tipo de webs y no me aclaro mucho y a parte con el trabajo, no he tenido tiempo de meterme. Lo siento!
Muchas gracias de nuevo!
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Si, ya se que está equivacado, es la primera que lo hacía, luego lo he hecho mucho mejor, aquí está el enlace, mira a ver si ahora estás de acuerdo. Como calcular los lados de un icosaedro truncado - Valero Angel Serrano Mercadal
Sacar o medir la circunferencia luego dividir la por 3 y multiplicar el resultado por 2. El valor resultante es la mediodía de los lados tanto para los pentágonos como para lo hexágonos. Para hacer eestos recomiendo trazar una recta de con la medida obtenida y con un semicirculo marcar un punto a los 60° para el hexágono o a los 72° para el pentágono, terminando la figura con lados todos de la misma medida. (La que sacamos al principio). Mi cálculo es simple y perfecto.
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Según pones yo medio mi circunferencia me salio 94,5 entre 3 31,5 y por 2 sería 63, imposible que ese resultado sea la medida de cada lado. - Ma Jose Bonilla Perez
a mi me ha parecido un trabajo titánico el que ha realizado sr Valero Angel, y aunque para mi nivel de conocimiento matemático esta muy por encima creo es importante agradecerle se haya tomado tanto tiempo y esfuerzo para responder esta duda para la cual yo también buscaba respuesta. mis respetos y agradecimiento. - Raquel Betancourt
Muchas gracias Raquel. Tienes razón, las dos veces que he contestado esta pregunta no la han calificado, siendo de las más difíciles. Aquí tienes otra respuesta que di más tarde y creo que corregía un fallo que tuve en esta. Como calcular los lados de un icosaedro truncado - Valero Angel Serrano Mercadal
Sí, es verdad que esta respuesta está mal me confundí al poner mal un número, la auténtica relación entre arista y radio es a= 0.4035482123·r - Valero Angel Serrano Mercadal
Lo que pasa es que aquí no me dejan escribir la corrección en el cuerpo de la pregunta, por eso que aunque me costo mucho no hagas caso de los resultados y atente a los que me dieron aquí Como calcular los lados de un icosaedro truncado - Valero Angel Serrano Mercadal
Sacar o medir la circunferencia luego dividir la por 3 y multiplicar el resultado por 2. El valor resultante es la mediodía de los lados tanto para los pentágonos como para lo hexágonos. Para hacer eestos recomiendo trazar una recta de con la medida obtenida y con un semicirculo marcar un punto a los 60° para el hexágono o a los 72° para el pentágono, terminando la figura con lados todos de la misma medida. (la que sacamos al principio). Mi cálculo es simple y perfecto. Saludos - Fernando Andrés Paladini