Encuentra la ecuación general y en su forma canónica, de la hipérbola cuyo eje transversal es por=3

Encuentra la ecuación general y en su forma canónica, de la hipérbola cuyo eje transversal es x=3 y que pasa por los vértices de la cónica 2x²+y²-28x+8y+108=0 y el centro de la cónica x²+y²-6x+4y+3=0. De qué cónica se tratan las ecuaciones

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Hallamos los vértices de la elipse, para ello la ponemos en forma canónica completando cuadrados. He dicho que es elipse por la forma de la ecuación general

ax^2 + by^2 + ... con a, b mayores que cero

2(x^2-14x) + (y+4)^2 - 16 +108 = 0

2[(x-7)^2 - 49] + (y+4)^2 +92 = 0

2(x-7)^2 - 98 + (y+4)^2 +92= 0

2(x-7)^2 + (y+4)^2 = 6

(x-7)^2 / 3 + (y+4)^2 / 6 = 1

El semieje en X mide sqrt(3) y en Y mide sqrt(6)

Mide más en Y luego el eje transversal es paralelo a Y

El centro es (7, -4) Y los vértices de la elipse son

V1=(7, -4-sqrt(6))

V2=(7, -4+sqrt(6))

El centro de la circunferencia se halla completando cuadrados de igual forma. Y he dicho circunferencia porque x^2 e y^2 tienen el mismo coeficiente positivo que es 1

x²+y²-6x+4y+3=0

(x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 + 3 = 0

El centro de la circunferencia es (3-2)


Al pasar la hipérbola por V1 y V2 que están en vertical, son simétricos respecto del eje perpendicular que pasa por el centro, luego la coordenada Y del centro de la hipérbola es -4, y como está en la recta x=3 tenemos que el centro de la hipérbola es (3, -4)


Y la ecuación será

(y+4)^2 / r - (x-3)^2 / s = 1

Hagamos que pase por el punto (3,-2)

(-2+4)^2 / r - (3-3)^2 / s = 1

4/r = 1

r= 4

Y ahora hagamos que pase por uno de los vértices de la elipse

(-4-sqrt(6)+4)^2 / 4 - (7-3)^2 /s = 1

6 / 4 - 16/s = 1

1/2 = 16/s

s=32

Y la ecuación canónica será

(y+4)^2 / 4 - (x-3)^2 / 32 = 1

o bien poniendo los denominadores como 2^2 y como (4sqrt(2))^2

Y la ecuación general será

8(y+4)^2 - (x-3)^2 = 32

8y^2 + 64y + 128 - x^2 + 6x - 9 = 32

8y^2 - x^2 + 64y +6x +87 = 0

Y eso es todo.

De nuevo gracias, esta actividad quedó muy bien, pero, en la anterior, en lugar de la ecuación de una hipérbola, nos da una circunferencia, por lo que me dijo que tenía que mejorar.Te envío de nuevo la pregunta para corregir, gracias.!

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