Volumen de una pirámide de vértices dados
Calcula los valores de a para que la pirámide de vértices (0,0,1),(2,1,-1),(0,0,0) y (1,1,a) tenga volumen 6.
1 Respuesta
La ecuación del plano que contiene tres puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)es
|x-x1 y-y1 z-z1 | |x2-x1 y2-y1 z2-z1| = 0 |x3-x1 y3-y1 x3-z1| Aprovecharemos que está el punto (0,0,0) para que haga el papel de (x1,y1,z1) |x y z| |0 0 1| = 0 |2 1 -1| 2y-x = 0
La altura respecto al cuarto punto es la distancia de este al plano
d= |2-1| / sqrt(2^2 + 1^2) = 1/sqrt(5)
Pues la altura va a ser siempre la misma sea cual sea a.
Vamos a ver si se cumple siempree o nunca
El área de la base es (1/2) del módulo del producto vectorial de dos lados del tríangulo que la forma. De nuevo nos aprovechamos que tenemos el punto (0,0,0) para hacerlo el origen de esos dos vectores, y el producto vectorial es:
|i j k| |0 0 1| = -i +2j |2 1 -1|
El módulo es sqrt(5) y el área sqrt(5)/2
El volumen de la pirámide es:
V= (1/3)(Área base)(altura) = (1/3)[sqrt(5)/2][1/sqrt(5)] = 1/6
Pues me extraña, Si hubieras dicho 1/6 en lugar de 6 se cumpliría siempre. Pero si es 6 el volumen en realidad, no se cumple nunca.
Y eso es todo.
Muchas gracias.
Intenté resolverlo después, suponiendo que la base de la pirámide erá un paralelogramo. Es decir, tres de los cuatro puntos los supongo en un mismo plano y con el módulo del producto vectorial tengo el área de la base. Y con la fórmula del volumen de la pirámide, despejo la altura.
Con la fórmula de distancia de un punto(vértice incógnita) a un plano(base de la pirámide), espejo la incógnita.El valor de a me dio 9. También me dió el mismo valor utilizando el producto mixto formado por los tres vectores, con origen en un mismo punto y dividiéndolo por 3
¿Puede estar bien?
