Como calcular los lados de un icosaedro truncado

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Javier!

He consultado en internet y salvo esta misma pregunta que contesté yo mismo hace 4 años no he encontrado nada. Y la respuesta que di yo era bastante complicada e incluso n me fio, por eso la voy a hecer de nuevo con un método más rápido.

He consultado en la Wikipedia y dice que el radio externo de un icosaedro es:

Entonces yo he trazado una circunferencia con ese radio y le he colocado adecuadamente un triángulo equilátero de lado uno, ese será uno de los lados del icosaedro. Luego viene la lima truncadora y lo trunca por las esquinas convirtiéndolo en un hexágono de lado 1/3, entonces trazo la circunferencia que para por la arista truncada. Esa será la circunferencia que tocará con esos dos puntos y es una circunferencia máxima dentro del la esfera que envuelve el icosaedro truncado. Ya solo falta calcular el radio de esa esfera y la relación entre 1/3 de la nueva arista y ese radio nos dara el multiplicador para obtener la arista a partir del radio.

Las cuentas son las siguientes:

$$\begin{align}&r_u=\frac{\sqrt{10+2 \sqrt 5}}{4}\\&\\&\text{Para que CD mida 1}\\&\\&C=\left(\frac 12,\sqrt {\frac{10+2 \sqrt 5}{16}-\frac 14}\right)=\left(\frac 12,\frac{\sqrt{6+2 \sqrt 5}}{4}  \right)\\&\\&Luego \quad E=\left(\frac 16,\frac{\sqrt{6+2 \sqrt 5}}{4}  \right)\\&\text{Y el radio exterior del icosaedro truncado es}\\&\\&r_t=\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{6+2 \sqrt 5}{16}}=\frac{\sqrt{232+72 \sqrt 5}}{24}=\\&\\&\frac{\sqrt{58+18 \sqrt 5}}{12}\approx 0.8260062197\\&\\&\text{Luego el multiplicador del radio para obtener la arista es}\\&\\&m_r=\frac 13\div \frac{\sqrt{58+18 \sqrt 5}}{12}=\frac{4}{\sqrt{58+18 \sqrt 5}} \\&\\&\text{racionalizarlo es perder tiempo para dejarlo peor}\\&m_r\approx 0.4035482123\\&\text{Pongo también el multiplicador del diámetro}\\&m_d\approx0.2017741062\\&\\&\text{Y finalmente}\\&\text{Para d=50cm}\implies  a=0.2017741062·50=10.08870531\\&\text{Para d=25cm}\implies  a=0.2017741062·25=5.044352654\end{align}$$

Todo esto que he hecho puede que esté mal, la otra vez que lo hice me dio que el multiplicador del radio era 

mr = 0.3398893

Lo cual da aristas más pequeñas. Aquí tienes como lo hice pero es mucho mas farragoso y desordenado.

Medidas lados hexágonos y pentágonos icosaedro truncad

Si es que cuando en internet no se encuentra la respuesta a esto será que no es fácil calcularlo. Quien tenga un balón que compruebe si alguna de las dos repuestas que he dado es verídica. Y quien se anime a hacer cálculos aquí tiene un buen problema para resolver.

Saludos.

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Vale, ya he encontrado el fallo que tuve hace cuatro años, puse una sqrt(5) donde era sqrt(5)/2, por eso daba otro resultado. Con la corrección esa coinciden los dos luego confirmado

$$\begin{align}&\text{Si tienes el radio}\\&a= 0.4035482123·r\\&\\&\text{Y si lo que tienes es el diámetro es}\\&a=0.2017741062·d\end{align}$$

Si lo que necesitas es el número real exacto con sus radicales y toda la pesca lo tienes en la respuesta anterior.

Saludos.

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Muy bien elaborada la respuesta profesor, revisaré para calificarlo y quedar claro... Gracias por su atención