Ecuaciones de Cauchy - Euler: x^3 y^3-x^2 y^''+2xy^'-2y=x^3

x^3 y'"-x^2 y''+2xy'-2y=x^3;

Efectivamente es Cauchy-Euler al tener la misma potencia x que el orden la la derivada en cada miembro (excepto la igualación a x^3, que no cuenta para obtener la Homogénea).

Obtenemos y(h) igualando a 0 y tomando como solución: y=x^r, con x>0.

y=x^r;  y'=rx^(r-1);  y"=r(r-1)x^(r-2);  y'"=r(r-1)(r-2)x^(r-3);  reemplazo:

x^3*r(r-1)(r-2)x^(r-3) - x^2*r(r-1)x^(r-2)+2x*rx^(r-1) -2*x^r =0;

Como x^n * x^(r-n) = x^r: queda:  r(r-1)(r-2)*x^r - r(r-1)*x^r +2r*x^r -2*x^r =0;  factorizado:

x^r*[r(r-1)(r-2) - r(r-1) +2r -2] =0;  por estar igualado a 0, se simplifica:

r(r-1)(r-2) - r(r-1) +2r -2 = 0;  se puede operar como ecuación cúbica y quedan dos raíces iguales (x-1) y una distinta (x-2);  entonces:

y(h)= C1x^2 + C2x + C3x^3,  (Observar que si dejamos C3x o C3x^2 habría dependencia lineal).

Para obtener la particular y(p), proponemos el cambio de constantes:

y(p) = u1x^2 + u2x + u3x^3;  para obtener los valores de u (son 3, como el grado de la ED), debemos hacer tres ecuaciones para obtener u1', u2' y u3'.

1)  Derivadas de u e igualar a 0:  u1'x^2 + u2'x + u3'x^3 = 0;

2)  Derivadas de los coeficientes de u e igualar a 0:  2u1'x + u2' + 3u3'x^2 = 0;

3) Volvemos a derivar coeficientes de u' en la anterior PERO igualando a x^3 (a lo que está igualada la ED).

2u1' + 0 + 6u3'x = x^3;  tres ecuaciones, tres incógnitas:  tiene resolución única.

x^2     x    x^3   =   0

2x      1    3x^2    =   0

2        0    6x      =   x^3;  resolveré por Gauss-Jordan:

u1'=x^3;  u2'=(-1/2)x^4;  u3'=(1/2)x^2;  Integramos u1', u2' y u3':

u1 = (1/4)x^4; u2=(-1/10)x^5;  u3=(1/6)x^3

y(p) = (1/4)x^6 -(1/10)x^6 + (1/6)x^6;  o:  y(p) = (19/60)x^6.

y = C1x^2 + C2x + C3x^3 + (19/60)x^6.