Si csc = -3 y es un ángulo en el cuadrante IV, determinar el valor de seno, tangente, secante, coseno y cotangente

Veamos

$$\begin{align}&cscx=-3\\&\frac{1}{sinx}=-3\\&sinx=-\frac{1}3        \text{ (seno negativo, está en el cuadrante III o IV, pero aclaran que es en el IV)}\\&\text{Acá tenés dos caminos}\\&\text{a) Despejar x y a partir de x hallar todas los demás valores}\\&\text{b) Usar el hecho que }\sin^2x+\cos^2x=1\\&\text{Vamos por la última opción}\\&\sin^2x+\cos^2x=1\\&\cos^2x=1-\sin^2x\\&\cos^2x=1-(-\frac{1}3)^2=1-\frac{1}9=\frac{8}9\\&cosx=\sqrt{\frac{8}9}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}    \\&\text{(también está el valor negativo, pero como nos dicen que es del cuadrante IV, el que sirve es el positivo para \cos}\\&\end{align}$$

y ya está, una vez que tienes el seno y el coseno, los demás salen directo, sabiendo que:

tg = sin/cos

cotg = cos/sin

sec = 1/cos

Salu2