Cual es la razón de cambio De A y B y la distancia que las separa
En el plano, dentro de un sistema de referencia cartesiano colocamos dos partículas A y B. Al inicio, en el instante t=0, la partícula A se encuentra 10m a la izquierda del origen, esto es en la posición (−10,0) y se desplaza hacia la derecha sobre el eje X a una velocidad constante de 2m/s; mientras que la partícula B está a 10m por encima del origen en la posición (0,10) y se desplaza hacia abajo sobre el eje Y a una velocidad constante de −1m/s. Denominaremos con “S” a la distancia que separa a ambas partículas. Note que X(t), Y(t) y S(t) son todas funciones del tiempo. En cada uno de los siguientes casos calcule la ubicación de A y de B, la distancia que las separa y la razón de cambio de esa separación, cuando:
a. T=2s
b. T=6s
c. T=7s
1 Respuesta
Podemos escribir las siguientes expresiones
x_A(t) = -10i + 2i t
x_B(t) = 10j - jt
(Fijate que lo que tenga 'i' representa el eje 'X', mientras que lo que tenga 'j' representa el eje 'Y')
A partir de las dos expresiones anteriores, podemos plantear la expresión de distancia como
S(t) = V(x_A(t)^2 + x_B(t)^2)
Notas: V es la raíz cuadrada, x_A(t) es lo que denominás X(t), x_B(t) es lo que denominás Y(t)
Para lo que te piden de tiempos debes reemplazar t por lo que te dan, mientras que para hallar la razón de cambio calculamos la derivada de S en función del tiempo
$$\begin{align}&S(t) = \sqrt{(-10i+2it)^2+ (10j-jt)^2}\\&S'(t) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{(-10i+2it)^2+ (10j-jt)^2}} \cdot (4\cdot (-10i+2it)+4\cdot(10j-jt))=\\&=\frac{ -40i+8it+40j-4jt}{2 \cdot \sqrt{(-10i+2it)^2+ (10j-jt)^2}} =\\&=\frac{ (-40i+40j)+(8i-4j)t}{2 \cdot \sqrt{(-10i+2it)^2+ (10j-jt)^2}}\end{align}$$Salu2