Tengo un ejercicio de Calculo diferencial

No se me ocurriría resolverla por Serie de potencias, cuando tenemos al menos otros dos métodos más sencillos. Resolveré primero por Coeficientes indeterminados.

y" + y' = x^2; 

Auxiliar:  m^2+m=0;  m(m+1)=0;  m=0;  o:  m=(-1).

y(h) = C1 + C2*e^(-x);

Proponemos para y(p) un polinomio cúbico para que me quede algún x^2 con la derivada de menor grado:  y(p)= Ax^3+Bx^2+Cx+D;

y ' = 3Ax^2+2Bx+C;

y " = 6Ax + 2B;  reemplazo:

6Ax + 2B + 3Ax^2+2Bx+C = x^2;  igualo coeficientes:

3Ax^2=x^2;   3A=1;  A=1/3;

6A x + 2Bx = 0x;   6A+2B=0;  2+2B=0;  B=(-1);

2B+C=0;  -2+C=0;  C=2;

y(p) = (1/3)x^3 -x^2 +2x;

y = y(h) + y(p);

y = C1+C2*e^(-x) + (1/3)x^3 - x^2 +2x;

Para intentar por el método de Series, primero derivaré tres veces, dejando entonces igualada a 0 y quedando una ED homogénea únicamente (este es el otro método que podría haberse usado, sin pasar luego a Serie).

y " ' + y " = 2x;

y " " + y " ' = 2;

y " " ' + y " " = 0; 

(podríamos usar directamente como Auxiliar:  m^5 + m^4=0;  m^4*(m+1);  con lo que llegaríamos a la misma resolución que la anterior).

Sin embargo, pasemos a Serie con:  y " " ' + y " " = 0

Proponemos:  y=∑ (de 0 a ∞) Cn x^n;  derivemos sucesivamente:

y ' = ∑ (de 0 a ∞) nCnx^(n-1);

y " = ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)Cnx^(n-2);

y " ' = ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)Cnx^(n-3);

y " " = ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)Cnx^(n-4);

y " " ' = ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)Cnx^(n-5);  reemplazo igualando a 0:

∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)Cnx^(n-5) + ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)Cnx^(n-4)=0;

Ahora debe dejar igualadas las potencias de x, haciendo n=0 a la primera, quedando su primer término igual a 0:

0 + ∑ (de 1 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)Cnx^(n-5) + ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)Cnx^(n-4)=0;

Tener en cuenta:  ∑ (de k a ∞) Ck*x^k = ∑ (de 0 a ∞) C(n+k)x^(n+k).

∑ (de 0 a ∞) (n+1)(n+1-1)(n+1-2)(n+1-3)(n+1-4)C(n+1)x^(n+1-5) + ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)Cnx^(n-4)=0;

∑ (de 0 a ∞) (n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)C(n+1)x^(n-4) + ∑ (de 0 a ∞) n(n-1)(n-2)(n-3)x^(n-4)=0;  que ahora puedo escribir:

∑ (de 0 a ∞) | (n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)*C(n+1) +  n(n-1)(n-2)(n-3)*Cn | x^(n-4)=0;

Para n=0:  0C1 + 0C0=0,

Para n=1:  0C2 + 0C1=0;

Para n=2:  0C3 + 0C2=0;

Para n=3:  0C4 + 0C3=0;

Para n=4:  5!C5 + 4!C4=0;  o:  5! C5 = - (4! C4);  C5 = - (4!/5!) C4; 

o:  C5 = - (1/5)C4

Para n=5:  6*5*4*3*2*C6 + 5*4*3*2*C5=0;  C6=-(1/6)C5;  o:  

o:  C6= [1/(6*5)]*C4;  

Para n=6:  7*6*5*4*3*C7 + 6*5*4*2*C6;  C7= - (1/7)C6;

o:  C7 = - [ 1/(7*6*5)]*C4;

Vemos que alternativamente es +/-, negativa en n=par, lo que podemos anteponer como:  (-1)^(n+1).

Podría representarse:  ∑ (de 0 a ∞) [(-1)^(n+1)] * C* [4!/(n+5)!] * x^(n+4) 

Tener en cuenta que como está todo referido a una sola constante (C4, en el desarrollo), podemos poner directamente: C.

Si tienes otra manera de resolverlo.