Integrales bastante largas...

Me pregunto si tal vez pudieran darme alguna forma simple de pensar esta integral... Estuve probando factorizar y esas cosas y siempre me quedo muy fea
3x.COS(x) + [COS(x)^2]/2 - 3x.SEN(x) - [SEN(x)^2]/2
...
Y también me gustaría... Si alguien puede recordarme 2 cosas...
En la integral
S(u.v') = u.v + S (u'.v)
Recuerdo que había una forma de resolverla cuando se repetía la integral... Luego de un par de pasos...
Pero no tengo ejemplos de eso... Es una pregunta tonta... Pero no recuerdo la solución...
Y el otro método de integración que tampoco recuerdo... Es el que se trataba de armar una ecuación como la que sigue para resolver la integral
A/f(x) + B/g(x) + C/k(x)
Para esta ultima... Tal vez no sea muy cómodo escribirlo...
Así que agrego mi correo por si pueden enviarlo en algún archivo de word o tal vez escanear un ejercicio "paso a paso" para tomarlo como ejemplo...
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Respuesta
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Te respondo.
1. Para poder integrar
3x.COS(x) + [COS(x)^2]/2 - 3x.SEN(x) - [SEN(x)^2]/2
Debes tener en cuenta lo siguiente:
a) Cuando se quiere integrar una potencia de x multiplicada con una función trigonométrica, se debe utilizar el método
S(u.v') = u.v -S (u'.v). (te has confundido en el signo)
b) Cuando aparecen potencias pares de fnes trigonométricas, debes sustituir por las expresiones siguientes:
[COS(x)^2] = (1+cos(2x))/2
[sin(x)^2] = (1-cos(2x))/2
Por tanto, vayamos por partes:
te explico primero como va el metodo
S(u.v') = u.v - S (u'.v). (te has confundido en el signo)
Por ejemplo:(en este caso es mejor derivar la potencia de x e integrar la función trigonométrica, pues de este modo bajamos el grado de x, que es lo que más interesa)
S(3xcos(x))=
u = 3x --> u' = 3dx
v' = cosx--> v = sinx
= 3xsinx-S(3sinx)= 3xsinx-3S(sinx)=
= 3xsinx-3(-cosx)= 3xsinx+3cosx.
Del mismo modo:
S(3x.SEN(x))=
u = 3x --> u' = 3dx
v' = sinx--> v = -cosx
= -3xcosx-S(-3cosx)=-3xcosx+3S(cosx)=
= -3xcosx+3sinx
Por otro lado:
S([COS(x)^2]/2)=(1/2)*S([COS(x)^2])=
(1/2)*S((1+cos(2x))/2)=
(1/4)*S((1+cos(2x))) = (1/4)*S(1)+
(1/4)*S(cos(2x))=
(1/4)*x+(1/4)*(1/2)*sin(2x)=
(1/4)*x+(1/8)*sin(2X)
S([SEN(x)^2]/2)=
(1/2)*S((1-cos(2x))/2)=
(1/4)*S((1-cos(2x)))=
(1/4)*S(1)-(1/4)*S(cos(2x))=
(1/4)*x-(1/4)*(1/2)*sin(2x)=
(1/4)*x-(1/8)*sin(2X)
Por lo que el resultado final:
3xsinx+3cosx+(1/4)*x+(1/8)*sin(2X)
-(-3xcosx+3sinx)-((1/4)*x-(1/8)*sin(2X))=
3xsinx+3cosx+(1/4)*x+(1/8)*sin(2X)
+3xcosx-3sinx-(1/4)*x+(1/8)*sin(2X)=
3xsinx+3cosx+(1/4)*sin(2x)+3xcosx-3sinx
Muchísimas gracias por tu ayuda...
Te mando mi correo porque seguro necesitare ayuda de nuevo
[email protected]
Tal vez si no es mucha molestia puedas ayudarme
Antes se me olvido
Tal vez puedas mandarme algunos ejemplos más
En cuanto a la resolución de la integral en el cual se repetía la integral, normalmente suele suceder cuando hay que integrar una exponencial que esta multplicando a una función trigonométrica.
Por ejemplo, integremos e^x*sinx.
S(e^x*sinx). Llamémosle I a esta integral y le aplicamos el método anteriormente mencionado. En este caso, da igual llamarle u a la exponencial que a la trigonométrica, pues son igual de fáciles de derivar que de integrar.
Por lo tanto :
I = S(e^x*sinx)=
u= e^x--> u' = e^x
v' = sinx--> v= -cosx
= -e^x*cosx+S(e^x*cosx)=
Integramos de nuevo:
S(e^x*cosx)=
u = e^x--> u' = e^x
v' = cosx --> v= sinx
= e^x*sinx-S(e^x*sinx)=
= e^x*sinx-I
Por tanto:uniendo todo:
I= S(e^x*sinx)=
= -e^x*cosx+S(e^x*cosx)=
= -e^x*cosx+e^x*sinx-I
--> pasando al otro miembro la I (la incognita):
I+I = -e^x*cosx+e^x*sinx;
2I= -e^x*cosx+e^x*sinx;
I= (-e^x*cosx+e^x*sinx)/2
Por lo que ya hemos terminado.
No se si me he explicado bien...
Para el último lo haremos con uin ejemplo:
Supone que queremos resolver la siguiente integral:
S(1/(x(x-1)(x-2)))=
Descomponemos el denominador y se hace la siguiente igualdad:
1/(x(x-1)(x-2))=(A/x)+(B/(x-1))+(C/(x-2))=>
1= A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)->
x= 0,-> 1=2A;A= 1/2;
x = 1;-> 1 = -2B;B = -1/2;
x = 2;-> 1= 2C;C = 1/2;
Luego:
S(1/(x(x-1)(x-2)))=
S(A/x+B/(x-1)+C/(x-2))=
A*S(1/x)+B*S(1/(x-1))+C*S(1/(x-2))=(1/2)*Lnx-(1/2)*Ln(x-1)+(1/2)*Ln(x-2).
Esto ha sido todo. No se si me he explicado bien. Un saludo. Si tienes más dudas, no dudes en preguntármelo.
NOTA: Te he respondido aquí, ya que no pones ninguna dirección de email.

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