Cuál es la base canónica de S={ (cosx, senx) ...
Me pregunto qué vectores forman la base canónica del subespacio
S = { (cosx, senx) , (-senx, cosx)} para todo x perteneciente a R^2.
¿Podría dar el valor x=0 y así tendrá los vectores (1,0) y (0, 1)?
Muchas gracias, me invade la duda ya que hasta ahora solo había trabajado con polinomios o matrices.
1 Respuesta
Respuesta de Karl Mat
Supongamos que los vectores son linealmente dependientes, entonces
#1: (cos x, sin x) = k(-sin x, cos x)
#2: cos x = -k sin x
sin x = k cos x
#3:
$$\begin{align}&\cot x = -k\\&\tan x = k\\&\\&-\dfrac{1}{k}=k\\&\\&k^2=-1\\&\\&k=\sqrt{-1}\\&\\&\end{align}$$pero como
$$\begin{align}&S\subset \mathbb R^2\end{align}$$entonces entramos en una contradicción. Por ende los dos vectores antes mencionados son linealmente independientes que son suficientes para formar una base de S.
