Ecuaciones diferenciales de primer orden - Método de homogéneas
¿Me pueden ilustrar cómo se resuelve esta ecuación diferencial de primer orden empleando el método de homogéneas?
$$\begin{align}&y´´-10y´+25y=30x+3\end{align}$$
Bueno primero que nada no es de primer orden puesto que tiene segunda derivada. Y de hecho tiene la forma de una no homogénea
Hola Alejandro, si asi es. Es de segundo orden y no homogénea. Me equivoque al redactar la pregunta.
Te agradezco mucho.
Ook, estoy haciendo la de cauchy, luego te ayudo con esta.
Estas son un dolor. Voy a usar el método de coeficientes indeterminados. Primero vamos a resolver la ecuación como si fuera homogénea, es decir igualada a cero
$$\begin{align}&y´´−10y´+25y=0\\&r^2-10r+25=0\\&(r-5)^2=0\\&r_1=r_2=5\end{align}$$Como las raices son iguales la solucion general tiene la siguiente forma
y(x)=c1e^(rx)+c2xe^(rx)
$$\begin{align}&y(x)=c_1e^{5x}+c_2xe^{5x}\end{align}$$Y para hallar la solucion particular hay que ver la forma de lo que quitamos, en este caso el 30x+3 que es un polinomio de grado uno por lo que la solucion particular es de la forma Ax+B. Insertamos esto en la ecuacion diferencial original, derivamos y hallamos los valores de A y B
$$\begin{align}&(ax+b)´´−10(ax+b)´+25(ax+b)=30x+3\\&-10a+25ax+25b=30x+3\\&25ax+(-10a+25b)=30x+3\\&\end{align}$$Para hallar los valores de A y B solo tenemso que hacer que los terminos con grados iguales tengan coeficientes iguales
$$\begin{align}&25a=30\\&a=\frac{6}{5}\\&\\&-10. \frac{6}{5}+25b=3\\&-12+25b=3\\&25b=15\\&b=\frac{3}{5}\\&\\&\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}\\&\end{align}$$Abajo es la solucion particular, y la respuesta completa es la suma de la solucion general con la particular
$$\begin{align}&c_1e^{5x}+c_2xe^{5x}+\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}\end{align}$$
