Como hacer funciones discontinuas y derivadas

Para la discontinuidad, observa que x=(-2) y x=2 hace 0 al denominador, y no existe forma de evitarlo, por lo que en estos dos puntos existen discontinuidades no evitables. Allí hay dos asíntotas verticales.

Para la segunda propuesta:  y= -x^2 +3;  en x=2, primero debemos hallar la pendiente en ese punto (se hace derivando) y luego completas.

Te piden hallar la derivada por definición (de forma directa es:  y' = -2x).

f ' (x) = lím h->0 de: { [-(x+h)^2 + 3] - (-x^2+3)} / h;

f ' (x) = lím h->0 de: { [-(x^2+2hx+h^2) + 3] - (-x^2+3)} / h;  opero:

f ' (x) = lím h->0 de:  [-2hx-h^2) } / h;  simplifico:

f ' (x) = lím h->0 de:  -2x-h;  como h->0 queda:  f ' (x) = -2x.

f ' (2) = -4;  que es igual a la pendiente en el punto (m de la recta).

Para f (2) = - 2^2 + 3;  queda el par:  (2; -1).

Ecuación de la recta:  y = mx + b; 

Recta tangente a (2; -1):  (-1)= -4*2 + b;  despejo b:

-1=-8 +b;  b=7

Tu recta tangente a (2; -1) es:  y=(-4)x + 7;