Pruebe que un entero positivo n no puede tener una raíz cuadrada racional a menos que n sea un cuadrado perfecto

Necesito probar esta proposición pero no se me ocurre como hacerlo

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2 Respuestas

1.083.025 pts. No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje, y...

;)
Hola Mariana!

Allí tienes una demostración que te puede servir, ya que está relacionada con lo que buscas.

(Está en inglés)

https://math.stackexchange.com/questions/2120928/prove-that-the-square-root-of-a-positive-integer-is-either-an-integer-or-irratio 

Saludos

;)

;)

8.250 pts.

Una reinterpretación de ese enunciado sería:

Si n es un número entero positivo no cuadrado perfecto entonces la raíz cuadrada de n no es un número racional

Algo más formal es...

$$\begin{align}&\forall n\in \mathbb{Z}^+\backslash\{k^2,k\in\mathbb{Z}\}\Longrightarrow\sqrt{n}\notin\mathbb{Q}^+\end{align}$$

Por reducción al absurdo.

Digamos que 

$$\begin{align}&\sqrt{n}=\frac{a}{b}\end{align}$$

con a y b enteros positivos y primos entre sí, es decir M.C.D.(a,b)=1. Luego es fácil ver que 

$$\begin{align}&M.C.D.(a^2,b^2)=1\end{align}$$

Entonces de la ecuación anterior tenemos

$$\begin{align}&a^2=nb^2\end{align}$$

pero ... a² y b² son primos entre sí... ummm podemos salvar la igualdad anterior si ponemos b = 1, sin embargo, en este caso tendríamos que n pertencería al conjunto de los números cuadrados perfectos lo cual entraría en contradicción con la suposición original.

                                                                                                                                                     L.Q,Q,D.

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