Demostrar a partir de la definición de continuidad, que la función cos (x) es continua en R.

Les agradecería que me ayuden con este problema y me explicaran como puedo aplicar la definición de continuidad para demostrarlo.

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2 Respuestas

118.300 pts. Todo ser tiene valor por el sólo hecho de ser y merece...

Para que una función sea continua en un punto debe tener tres condiciones:

1) Estar definida en el punto;

2) Tener límite en el punto;

3) El límite y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.

La función Coseno está definida para cualquier real, tiene límite en todos los reales y el límite y el valor en cualquier R coinciden.

17.900 pts.

Vamos a tomar dos puntos x e y tales que |x - y| < δ, con δ > 0.Luego veremos cómo se comporta

$$\begin{align}&|\cos x-\cos y|\end{align}$$

(1) Por identidades trigonométricas se conoce

$$\begin{align}&|\cos x-\cos y|=2\left|\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\\&\end{align}$$

(2) Por otra parte sabemos que 

$$\begin{align}&|\sin \omega|\leq 1\,\,\,\, , \,\,\,\forall\omega \in \mathbb{R}\end{align}$$

(3) entonces podemos utilizar (2) de forma conveniente en (1) y tener

                                                           |cos x - cos y| ≤ 2| sen [(x - y)/2] |

(4) Tenemos otra identidad: | sin z | ≤ |z| para cualquier z real

(5) entonces utilizamos (4) en (3)

                                                           |cos x - cos y| ≤ 2| (x - y)/2 |

                                                           |cos x - cos y| ≤ | x - y |

Por hipótesis

                                                           |cos x - cos y| < δ

Entonces a δ podemos ponerle un número ε > 0 lo más pequeño posible (δ = ε) lo que significa la continuidad de la función coseno.

Es más, con esto hemos demostrado que la función coseno es uniformemente continua (Continuidad de Cauchy).

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