Demostrar a partir de la definición de continuidad, que la función cos (x) es continua en R.
Les agradecería que me ayuden con este problema y me explicaran como puedo aplicar la definición de continuidad para demostrarlo.
2 respuestas
Para que una función sea continua en un punto debe tener tres condiciones:
1) Estar definida en el punto;
2) Tener límite en el punto;
3) El límite y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.
La función Coseno está definida para cualquier real, tiene límite en todos los reales y el límite y el valor en cualquier R coinciden.
Vamos a tomar dos puntos x e y tales que |x - y| < δ, con δ > 0.Luego veremos cómo se comporta
$$\begin{align}&|\cos x-\cos y|\end{align}$$(1) Por identidades trigonométricas se conoce
$$\begin{align}&|\cos x-\cos y|=2\left|\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\\&\end{align}$$(2) Por otra parte sabemos que
$$\begin{align}&|\sin \omega|\leq 1\,\,\,\, , \,\,\,\forall\omega \in \mathbb{R}\end{align}$$(3) entonces podemos utilizar (2) de forma conveniente en (1) y tener
|cos x - cos y| ≤ 2| sen [(x - y)/2] |
(4) Tenemos otra identidad: | sin z | ≤ |z| para cualquier z real
(5) entonces utilizamos (4) en (3)
|cos x - cos y| ≤ 2| (x - y)/2 |
|cos x - cos y| ≤ | x - y |
Por hipótesis
|cos x - cos y| < δ
Entonces a δ podemos ponerle un número ε > 0 lo más pequeño posible (δ = ε) lo que significa la continuidad de la función coseno.
Es más, con esto hemos demostrado que la función coseno es uniformemente continua (Continuidad de Cauchy).