Dadas las funciones vectoriales: R(t)=t^2 i+(t-1)j y Q(t)=sin t i+cos t j determinar:

Límites, derivadas y continuidad

Dadas las funciones vectoriales: R(t)=t^2 i+(t-1)j  y  Q(t)=sin t i+cos t j determinar:

$$\begin{align}&1. D_t [R(t)+Q(t)]\\&2. D_t [R(t)∙Q(t)]\\&3. D_t [R(t)×Q(t)]\\&4. R'' (5)\\&\\&\end{align}$$
2

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1

;)
Hola Yani!

1.

R(t)+Q(t)=(t^2 + sint , t-1+cost , 0)

D(t)=(2t+cost , 1-sint , 0)

2.

R·Q=t^2sint+(t-1)cost

D[RQ]=2tsint+ t^2cost +cost + (t-1)(-sint)= tsint + t^2cost + cost +sint 

3. D(t)[RxQ]=R'xQ + Q'xR

Hagamos los dos productos vectoriales (determinantes) y sumemos

           | i          j          k|

R'xQ=|2t        1         0|  =   k(2tcost-sint)

          |sint   cost     0|

          |i           j          k|

Q'xR=|cost   -sint    0|  = k[cost(t-1)+t^2sint]

         |t^2       t-1      0|

sumando:

D(RxQ)= k(3tcost-cost-sint+t^2sint)

4.

R'=(2t,1,0)

R''=(2,0,0)

R''(5)=(2,0,0)

Saludos

;)

;)

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1

 R(t) = <t^2 i+(t-1)j>  y  Q(t)= <sin t i+cos t j>;  estamos trabajando en R2.

Para la suma no hay problemas: la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, lo que te permite hacer primero la suma y luego derivar o a la inversa (de todas maneras dará un vector): derivemos primero:

D R(t) = <2t i; j>;  D Q(t) = <cost i; -sent j>;  ahora sumamos:

###  D [R(t) + Q(t)] = < (2t+cost) i ; (1-sent)j>

Para los productos, generaremos productos de funciones a derivar:

* Producto escalar (obtenemos un escalar):  t^2*sint + (t-1)cost;  

Derivo:  2tsint + t^2cost + cost-(t-1)sint;  factorizo:

###  sint (2t-t+1) + cost (t^2+1);  o:  sint (t+1) + cost (t^2+1);  

También podríamos haber hecho R'Q + Q'R, llegando a igual resultado.

* Producto vectorial (obtenemos un vector ortogonal a los anteriores al realizar el producto, que puede visualizarse bien si agregamos una dimensión más con su vector igual a 0); generamos la matriz en R3:

i &&& j &&& k;

t^2 &&& t-1 &&& 0;

sint &&& cost &&&0;  Determinante:

[0 + 0 + cost*t^2 k] - [(t-1)sint k+ 0 + 0] = [cost*t^2 +(1-t)sint]k;  lo que demuestra que el producto vectorial genera un vector ortogonal a los vectores dados.  Atención que el producto vectorial no tiene propiedad conmutativa (al hacer QxR, su vector es opuesto a RxQ).

La derivada del producto vectorial también se hace:  R'Q+Q'R;

(2t i + j )(sint i + Cost j) + (cost i - sent j)[t^2 i+ (t-1)j];  Generamos matrices:

i &&& j &&& k;

2t &&& 1 &&& 0;

Sin t &&& Cos t &&& 0;  Determinante:  (2tCost - Sint)k;

i &&& j &&& k;

Cost &&& -sent &&&0

t^2 &&& (t-1) &&& 0;  Determinante:  [(t-1)Cost + t^2Sent]k; 

Sumo ambos determinantes:  [Cost (2t+t-1) + Sent (t^2-1)]k;  o:  

### [Cost (3t-1) + Sent (t^2-1)]k;

Finalmente, segunda derivada de R en t=5:

 R(t)=t^2 i+(t-1)j;

R ' = 2t i + j;  (lo que indica que se mueve en el sentido de i y de j;

R ' ' = 2i; (lo que indica que en i, tiene una asceleración distinta de 0, no así en j).

Si hacemos R ' ' (5), también será igual a 2i, ya que no hay t en esta segunda derivada (o, lo que es lo mismo: R ' ' =2 i para todo valor de t).

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