Como resolver estos ejercicios de Suma Riemann
Apoyo para resolver estos calculos de ejercicios Suma Riemann
Resuelve Cada uno de los siguientes ejercicios por medio de la suma de Riemann (todos por suma de Riemann y los 2 primeros se comprueban también por integral definida (a y b)), identificando primero cada una de las partes del punto 2 (análisis) y siguiendo un procedimiento para obtener el área de las funciones dadas:
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Salu2
Hola Profe Gustavo, ya cambien las calificaciones ya les puse como excelente,solo espero sus apoyos para los ejercicios gracias.
Saludos.
Ya se me adelantó Norberto, solo voy a repetir el último ejercicio de un modo más general, ya que él lo hizo definiendo un ancho de intervalo específico
$$\begin{align}&\int_{-1}^6 (5x + \frac{2}{3}) dx\\&a=-1\\&b=6\\&\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{7}{n}\\&x_i=a + i \Delta x = -1 + \frac{7i}{n}\\&f(x_i) = 5x_i+\frac{2}{3} = 5 (-1+\frac{7i}{n})+\frac{2}{3}=\frac{35i}{n}-\frac{13}{3}\\&Retomando...\\&\int_{-1}^6 (5x + \frac{2}{3}) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \\&\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} (\frac{35i}{n}-\frac{13}{3} ) \cdot \frac{7}{n} = \\&\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{245i}{n^2}-\frac{91}{3n} =\\&\lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{245}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i- \sum_{i=1}^{n} \frac{91}{3n}\bigg) =\\&\lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{245}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i- \frac{91}{3n} \sum_{i=1}^{n} 1 \bigg) =\\&\lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{245}{n^2} \frac{n(n+1)}{2}- \frac{91}{3n} n \bigg) =\\&\lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{245n^2+245n}{2n^2} - \frac{91}{3} \bigg) = \text{ (cuando n} \to \infty)\\&\frac{245}{2} - \frac{91}{3} = \frac{735-182}{6}=\frac{364}{6}=\frac{182}{3}\end{align}$$
Buenas noches profe en el ejerció 4 hubo en error de parte de mi Maestro en vez de -1 es -2 y pues solo me faltan los dos ejercicios de la 2 y 3 ya que los quiere así como usted los realiza.
Saludos.
Te dejo el 2 y el 3, el 4 ya lo tienes, simplemente recalcula los valores cambiando el límite (de paso te servirá de ejercicio)
$$\begin{align}&2) \int_{0}^4 (2x^2-3x) dx\\&a=0\\&b=4\\&\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{4}{n}\\&x_i=a + i \Delta x = \frac{4i}{n}\\&f(x_i) = 2(x_i)^2-3x_i=2 (\frac{4i}{n})^2-3 \cdot \frac{4i}{n}=\frac{32i^2}{n^2}-\frac{12i}{n}\\&\int_{0}^4 (2x^2-3x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x=\\&\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n (\frac{32i^2}{n^2}-\frac{12i}{n})\cdot \frac{4}{n}=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} (\sum_{i=1}^n (\frac{32i^2}{n^2}-\frac{12i}{n}))= \\&\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} (\sum_{i=1}^n \frac{32i^2}{n^2}- \sum_{i=1}^n \frac{12i}{n})=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} \bigg(\frac{32}{n^2}\sum_{i=1}^n i^2- \frac{12}{n} \sum_{i=1}^n i \bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{16}{n^2} \bigg(\frac{8}{n} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}- 3 \frac{n(n+1)}{2} \bigg)\\&\text{(cuando n } \to \infty)\\&\to 16 \bigg(\frac{8}{3}- \frac{3}{2} \bigg)=\frac{56}{3}---\\&3) \int_{-1}^2 6x^3 dx\\&a=-1\\&b=2\\&\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}\\&x_i=a + i \Delta x = -1 + \frac{3i}{n}\\&f(x_i) = 6x_i^3=6(-1 + \frac{3i}{n})^3\\&\int_{-1}^2 6x^3 dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x=\\&\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n 6(-1 + \frac{3i}{n})^3 \cdot \frac{3}{n}=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{18}{n} \sum_{i=1}^n (-1 + \frac{3i}{n})^3 =\\&\lim_{n \to \infty} \frac{18}{n} \sum_{i=1}^n (-1+\frac{9i}{n}-\frac{27i^2}{n^2} + \frac{27i^3}{n^3}) =\\&\lim_{n \to \infty} \frac{18}{n} \bigg(\sum_{i=1}^n -1+\sum_{i=1}^n \frac{9i}{n}-\sum_{i=1}^n \frac{27i^2}{n^2} + \sum_{i=1}^n \frac{27i^3}{n^3}\bigg) =\\&\lim_{n \to \infty} \frac{18}{n} \bigg((-n)+ \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n i - \frac{27}{n^2} \sum_{i=1}^n i^2 + \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^n i^3\bigg) =\\&\lim_{n \to \infty} \frac{18}{n} \bigg((-n)+ \frac{9}{n} \frac{n(n+1)}{2} - \frac{27}{n^2} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{27}{n^3} \\& \bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^2\bigg) =\\&\lim_{n \to \infty} \frac{18}{n} \bigg(-n+ \frac{9n^2+9n}{2n} - \frac{9n(n+1)(2n+1)}{2n^2} + \frac{27 n^2 (n+1)^2}{4n^3}\bigg) \\&\text{(cuando n } \to \infty)\\&\to 18 \bigg(-1+ \frac{9}{2} - \frac{9}{2} + \frac{27}{4}\bigg) =\frac{207}{2}\\&\end{align}$$Salu2
La número 2 te la he contestado en otra pregunta que has hecho.
Para las otras tres usaremos un Delta x de 0.5 y lo haremos por valor medio del intervalo (mayor exactitud que un delta de 1, por ejemplo).
1) S= 0.5 unidad * [f(2.25)+f(2.75)+f(3.25)+f(3.75)+f(4.25)+f(4.75)] unidades.
S=0.5*(5.25+7.75+10.25+12.75+15.25+17.75) unidades^2;
S= 69/2 unidades^2; o: 34,5 unidades^2
Por integración: Indefinida: (5/2)x^2 - 6x + C;
Para x=5; 65/2; Para x=2: -2; resto:
73/2; o: 36,5 unidades^2
3) S= 0.5 u * [f(-0.75)+f(-0.25)+f(0.25)+f(0.75)+f(1.25)+f(1.75)]u;
S= 0.5 * (43.875) u^2;
S= 21.9375 u^2
Por integración: Indefinida: (3/2)x^4;
Para x=2: 24; Para x=(-1): (3/2); resto: 45/2; o: 22.5 u^2.
4) S= 0.5 u * [f(-0.75) + .....+ f(5.75)] u;
S= 0.5 * (184.33.....) u^2;
S= 92.166....u^2;
Por integración: Indefinida: (5/2)x^2 + (2/3)x + C;
Para x=6: 90+4; 94;
Para x= (-1): (5/2) - (2/3); (15-4)/6; 11/6; resto:
(564 - 11) / 6; 553/6; 92,166....u^2