Los extremos de un segmento son lo puntos P1(7,4)P2(-1,-4) hallar el punto P (X,Y)que lo en 2 partes tales P2P: PP1: -3

$$\begin{align}&x___x: x1+rx2__\\&         1+r\\&\end{align}$$
$$\begin{align}&__PP1__\\&     PP2\end{align}$$
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El dibujo no tiene nada que ver con los puntos indicados, por lo que lo ignoraré.

P1:  (7; 4);  P2:  (-1; -4)

1°) Ecuación de la recta:  y=mx+b;

m=(-4-4) / (-1-7);  m=(-8) / (-8);  m=1.

Para P1:  4= 7+b;  b= -3;

Recta:  y= x-3

2°)  Longitud de los segmentos:

P1P= √ [ (x-7)^2 + (y-4)^2];  como y=x-3:  √ [ (x-7)^2 + (x-7)^2];  o:

P1P= √ 2(x-7)^2

PP2= √ [ (-1-x)^2 + (-4-y)^2];  como y=x-3:  √ [ (-1-x)^2 + (-1-x)^2];  o:

PP2= √ 2(-1-x)^2;

3°)  PP2/P1P = -3;

-3 = √ [ 2(-1-x)^2 / 2(x-7)^2];

9=  (-1-x)^2 / (x-7)^2;

9 = (1+2x+x^2) / (x^2-14x+49);

9x^2 - 126x + 441 = 1+2x+x^2;

8x^2 -128x+440=0;  simplifico por 8:

x^2 - 16x+55=0;  Baskara:

[16+-√256-220)] / 2;

x= 8 +-3;  x=5;  x=11;  como x=11 está fuera de rango, sólo es válido x=5.

4°) Hallamos el valor de y desde:  y=x-3;

y= 5-3;  y=2

Finalmente:  P:  (5; 2)

Corroboro reemplazando x por 5 en:  -3 = √ [ 2(-1-x)^2 / 2(x-7)^2];

-3= +-√ [2*(6^2) / 2*(-2)^2];

-3=+-√ (72 / 8);

-3=+-√9;  

-3=-3;  es correcto.

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