Hallar los valores de la constante k para que u, v y w sean linealmente independientes

Sean u=(0,1,1) y v=(−2,0,1) y w=(k, k−1,1). 

0 %%% 1 %%% 1

-2 %%% 0 %%% 1

k %%% k-1 %%% 1;

Hallemos los valore de k para que sean linealmente dependientes:

(0 + k -2(k-1) - (0 -2+0) = 0;

k-2k+2 +2 = 0;  4 = k;

Tu primera respuesta:  Para que sean linealmente independientes, k=/= 4;

es decir que k puede tomar cualquier valor a excepción de 4.

Para la segunda parte del ejercicio:  con k=3, hallar una combinación lineal con <2; 1; 0>:

0 %%% 1 %%% 1

-2 %%% 0 %%% 1

3 %%% 2 %%% 1;

2; 1; 0 = L (-2; 0; 1) + µ(3; 2; 1);  

2= -2L + 3µ

1= 2µ;  µ = 1/2

0 = L + µ;  

Reemplazando:  0 = L + 1/2;  L=-1/2;  corroboro con la primera ecuación:  

2= -1 + 3/2;  lo que indica que no es posible escribir a <2; 1; 0> como combinación de v y w.

Consideremos ahora la combinación de u con w:

2; 1; 0 = L (0; 1; 1) + µ(3; 2; 1);  

2=0L + 3µ

1= L + 2µ

0 = L + µ;   o:  L= -µ;  reemplazo en la ecuación anterior:

1 =  - µ + 2µ;  entonces:  µ=1;  y además:  L=-1;  corroboro con la primera ecuación:  2=3;  tampoco existe combinación lineal.

Consideremos los tres vectores:

0 %%% 1 %%% 1

-2 %%% 0 %%% 1

3 %%% 2 %%% 1

(2; 1; 0) = L (0; 1; 1) + µ(-2; 0; 1) + p (3; 2; 1);

2= -2µ+3p;  o:  µ= (3p-2)/2;

1 = L+2p;  o:  L=1 - 2p;

0 = L + µ + p;  reemplazo todo en función de p:

0 = 1-2p + (3/2)p - 1 + p;  o:  (1/2)p = 0;  p=0;

Si p=0;  L=1 y µ=-1;  remplazo en (2; 1; 0) = L (0; 1; 1) + µ(-2; 0; 1) + p (3; 2; 1);

2; 1; 0 = (0; 1; 1) - (-2; 0; 1) + 0;

2=2; 1=1; 0=0.

La combinación lineal es:  

(2; 1; 0) =  (0; 1; 1) - (-2; 0; 1) + 0(3; 2; 1);  o directamente:

(2; 1; 0) =  (0; 1; 1) - (-2; 0; 1);  independientemente de los valores de k, porque w se encuentra multiplicado por 0.