Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones
Me pueden ayudar con el procedimiento para darle solución al siguiente ejercicio
Utilice el método de los multiplicadores de Langrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.
- f(x,y)=xy, sujeta a x^2+y^2=2
Respuesta de Lucas m
3
;)
Hola jennifer!
Lagrangiano:
$$\begin{align}&L(x,y)=xy- \lambda(x^2+y^2-2)\\&\\&\text{En los extremos las siguientes derivadas parciales se anulan}\\&L_x=y+2x \lambda=0\ \ ==>y=-2x \lambda\\&L_y=x+2 \lambda y=0 \ \==> y= - \frac x {2 \lambda}\\&\\&L_{\lambda}=x^2+y^2-2=0\\&\\&\text{Igualando las dos primeras}\\&-2x \lambda=-\frac x {2 \lambda}\ ==> 4x \lambda^2=x==>4x \lambda^2-x=0\\&x(4 \lambda^2-1)=0\\&==>\\&x=0 ==>y=0==> (0,0)\\&\text{Este punto no cumple la ecuacion 3}:0^2+0^2 \neq 2==> \text{No es extremo}\\&\\&4\lambda^2-1=0\ ==> \lambda^2= \frac 1 4 ==> \lambda= \pm \frac 1 2\\&Si\ \lambda= \frac 1 2==>y=-2x \lambda=-2x \frac 1 2=-x\\&Sustituyendo\ en \ 3:x^2+x^2=2\ ==> 2x^2=2==> x^2=1\\&\\&==> x=\pm1 ==>(1,-1);(-1,1)\\&\\&Si\ \lambda=- \frac 1 2==>y=-2x \lambda=-2x(- \frac 1 2)=x\\&Sustituyendo\ en \ 3:x^2+x^2=2\ ==> 2x^2=2==> x^2=1\\&\\&==> x=\pm1 ==>(1,1);(-1,-1)\\&\\&\text{Esos son los posibles extremos}:\\&\\&Determinante \ Hessiano:\\&L{xx}\ \ \ \ \ L_{xy}\\&L{yx}\ \ \ \ \ L_{yy}\\&\\&L_{xx}=2 \lambda\\&L_{xy}=L_{yx}=1\\&L{yy}= 2 \lambda\\&\\&Si\ \lambda= \frac 1 2\\&H=\\&|1\ \ \ \ \ 1|\\&|1\ \ \ \ \ 1|\\&=0\\&Si \lambda=- \frac 1 2\\&\\&H=\\&|-1\ \ \ \ \ 1|\\&|1\ \ \ \ \ -1|\\&=0\\&\end{align}$$Si el hessiano da 0, el criterio no decide si son o no extremos relativos.
Saludos
;)
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