Determina si las siguientes ecuaciones son exactas. Si no lo son, encuentra el factor integrante

1. 3xy+y2+ (x2+ty) dy/dx=0;  pondré x en lugar de t (si no es así, por favor indícalo y lo corregiré).

(3xy+y2)dx+ (x2+xy)dy=0;

∂ (3xy+y2) /∂y = 3x+2y;

∂ (x2+xy) /∂x =2x+y;  no es exacta

µ = e^∫ [(3x + 2y - 2x - y) / x(x+y)];  

µ= e^∫ [(x+y) / x(x+y)];

µ=e^∫ (1/x);  µ= e^(ln|x|); µ=x;  Multiplico y corroboro:

(3x^2y+y2x)dx+ (x3+x^2y)dy=0;

∂ (3x^2y+y2x) /∂y =  3x^2 + 2yx

∂ (x3+x^2y) /∂x = 3x^2 + 2yx;  ahora es exacta.

Integro a: (3x^2y+y^2x)dx:  x^3y + (1/2)x^2y^2 + f(y) = C

Derivo dy:  x^3+ x^2y + f ' (y)] dy = 0;  igualo:

[x^3 + yx^2 + f ' (y)]dy = (x3+x^2y) dy;

f '(y) = 0; Integro dy:

f(y) = 0;  reemplazo:

###  x^3y + (1/2)y^2x^2 = C.  Corroboro:

dx:  3x^2y + xy^2;  si divido por x:  3xy + y^2;  es correcto;

dy:  x^3 + x^2y;  si divido por x:  x^2 + xy;  es correcto.