¿Cómo resolver estas ecuaciones diferenciales?

La primera es exacta porque:

∂ [3y^2/(x^2+3x)] / ∂x = 6y(x^2+3x);

∂ { 2y ln [5x/(x+3)] + 3seny} / ∂x = [2y(x+3)/5x] * [5(x+3) - 5x]/(x+3)^2;

Simplifico:  [2y(x+3)/5x] * 15/(x+3)^2;  6y/x(x+3);  o:  6y/x^2+3x).

La segunda es homogénea en segundo grado de homogeneidad.

Para resolver la primera:

∫ 3y^2 dx / (x^2+3x);  por fracciones parciales:

1/(x^2+3x) = A/x + B/(x+3);  1/(x^2+3x) = [A(x+3) + Bx]/(x^2+3x);

1=[A(x+3) + Bx];  

1=3A+0B;  para x=0;  A=1/3;

1=0A-3B;  para x=(-3);  B=-1/3:

3y^2 (1/3) [ ∫ dx/x - dx/(x+3)];

y^2 * ( ln|x| - ln|x+3|) + f(y) = C Derivo dy:

2y*( ln|x| - ln|x+3|)+ f ' (y):

Reescribimos:  2y ln [5x/(x+3)] + 3seny}

2y (ln|5x| - ln|x+3|) + 3seny;  Igualo:

2y*( ln|x| - ln|x+3|)+ f ' (y) = 2y (ln|5x| - ln|x+3|) + 3seny;

2y*ln|x|  + f ' (y) = 2y*ln|5x|  + 3seny;

f ' (y) = 2y (ln 5x - ln x) + 3seny;

f ' (y) = 2y*ln5 + 3seny;  Integro dy:

y = 2ln5 * y^2/2 - 3cosy + C;

y = ln5 * y^2 - 3cosy + C;

y = ln5 * y^2 - 3cosy + y^2 * ( ln|x| - ln|x+3|) = C;

y = - 3cosy + y^2 * [ ln 5 + (ln|x| - ln|x+3|)] = C;

###  y = - 3cosy + y^2 * [ ln |5x / (x+3)| = C;  que es la resolución.

Corroboro:  dy= 3seny + 2y[ ln |5x / (x+3)|;  es correcto;

dx=  y^2 { [(x+3)/5x] * [5(x+3) - 5x]/(x+3)^2;  

3y^2/ x(x+3);  o:  3y^2 / (x^2+3x);  también es correcto.

Segunda ED, homogénea en segundo grado de homogeneidad, porque se puede agregar k^2 sin modificarla.

u=x/y;  x=uy;  dx=ydu + udy;  reescribo:

dy/ (ydu+udy)= 2uy^2* e^(u^2) / [y^2 + y^2e^(u^2) + 2y^2u^2e^(u^2)]; simplifico y^2:

dy/ (ydu+udy)= 2u* e^(u^2) / [1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2)];

[1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2)]*dy = 2u* e^(u^2)(ydu+udy);

[1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2)]*dy =2u* e^(u^2)ydu + 2u^2 * e^(u^2)dy;

[1 + e^(u^2) + 2u^2e^(u^2) - 2u^2 * e^(u^2)]*dy =2u* e^(u^2)ydu;

[1 + e^(u^2)]*dy =2u* e^(u^2)ydu;

dy/y = 2u*e^(u^2)*du / [1 + e^(u^2)];  

CDV:  s=e^(u^2); ds=e^(u^2)*2u*du;  du=ds/e^(u^2)*2u;  

Reemplazo y simplifico:

dy/y = ds / (1+s);  Integro:

ln|y| = ln |1+s| + C;  devuelvo última variable:

ln|y| = ln |1+e^(u^2)| + C;  hago C= lnA, que también es una constante:

ln|y| = ln |1+e^(u^2)| + lnA;  o:

ln|y| = ln |A[1+e^(u^2)]|;  Simplifico:

y = A[1+e^(u^2)];  devuelvo primer CDV:

###  y = A[1+e^(x/y)^2];  que es tu segunda resolución.