Desarrolla y calcula aplicando la Regla de L´Hospital

Te la encaro paso por paso:

Numerador: Integral/ sen^3 t dt/ entre 0 y x ... haces sen^3 t= u desarrollas el diferencial dt y llegas a que :

Integral del numerador= 1/12 ( cos 3x - 9 cos x - 1 + 9 ) = 1/12( cos 3x - 9cosx+8).................................................dividis todo por x^4 y tenes:

(1/12 x^4) ( cos 3x - 9 cos x - 1 + 9 ) = (cos3x - 9cos x + 8 )/ 12 x^4

que si haces limite tendiendo x a 0 llegas a  1-9+8 / 0 = 0/0..........................

Aplicas LHopital 1 vez y llegas a ...- 3 sen 3x + 9 senx / 48x^3 ... en el limite nuevamente = 0/0 ... derivas nuevamente y llegas a:

(-9 cos3x + 9 cos x) / 144 x^2 ... en el limite... nuevamente = 0/0 ... Otra vez LHopital ... 27 sen3x - 9 senx / 288 x ... en el limite nuevamente 0/0 ... derivas una vez mas... 81 cos3x - 9 cosx / 288... Ahora si haces tender x a cero llegarias al limite que te piden:

= 81-9 / 288 = 1/4 .-

Este seria el procedimiento. Por las dudas revisa mi desarrollo... por si se me escapo algo mal.

no entiendo... sen^3 t = sen t^3? porque en este caso "t" es quien está elevado al cubo...

Dentro del análisis que yo he estudiado el cubo de cualquier función trigonométrica p. ej. (tg x) ^3 = tg^3 x puede escribirse de las dos maneras.

No lleva paréntesis... lo único al cubo es la literal x.