Calcula la integral definida mediante sumas de Riemann

Los primeros pasos que escribiste están bien, creo que desarrollaste mal el cubo, pero veamos...

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(5(-2+\frac{9}{n}i)^3+\frac{2}{3}(-2+\frac{9}{n}i)^2\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(5(-8+\frac{108}{n}i- \frac{162}{n^2}i^2+\frac{729}{n^3}i^3)+\frac{2}{3}(4-\frac{36}{n}i+\frac{81}{n^2}i^2)\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg((-40+\frac{540}{n}i-\frac{810}{n^2}i^2+\frac{3645}{n^3}i^3)+(\frac{8}{3}-\frac{24}{n}i+\frac{54}{n^2}i^2)\bigg)= \text{(....En este paso tuviste el error)}\\&\end{align}$$

Te lo dejo donde encontré el error...si te parece seguilo vos y cualquier duda pregunta...

Salu2

Hola amigo Gustavo... pues según yo si desarrolle bien el binomio al cubo... de todas formas realice el ejercicio como lo marcaste pero aun así, no sale >,<!

Voy a seguir lo mío...(en realidad tu error no lo ví en el desarrollo del cubo, sino cuando distribuiste el 2/3)

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(5(-2+\frac{9}{n}i)^3+\frac{2}{3}(-2+\frac{9}{n}i)^2\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(5(-8+\frac{108}{n}i- \frac{162}{n^2}i^2+\frac{729}{n^3}i^3)+\frac{2}{3}(4-\frac{36}{n}i+\frac{81}{n^2}i^2)\bigg)=\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg((-40+\frac{540}{n}i-\frac{810}{n^2}i^2+\frac{3645}{n^3}i^3)+(\frac{8}{3}-\frac{24}{n}i+\frac{54}{n^2}i^2)\bigg)= \\&\text{(....Hasta acá había llegado antes)}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n} \sum_{i=1}^n \bigg(-\frac{112}{3}+\frac{516}{n}i-\frac{756}{n^2}i^2+\frac{3645}{n^3}i^3\bigg)= \\&\text{En el paso siguiente, creo que olvidaste la sumatoria del primer factor}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n}  \bigg(-\frac{112}{3}\sum_{i=1}^n 1+\frac{516}{n} \sum_{i=1}^n i-\frac{756}{n^2}\sum_{i=1}^n i^2+\frac{3645}{n^3}\sum_{i=1}^n i^3\bigg)= \\&\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n}  \bigg(-\frac{112n}{3}+\frac{516n(n+1)}{2n}-\frac{756n(n+1)(2n+1)}{6n^2}+\frac{3645n^2(n+1)^2}{4n^3}\bigg)= \\&\lim_{n \to \infty}  \bigg(-336+\frac{2322(n+1)}{n}-\frac{1134(n+1)(2n+1))}{6n^2}+\frac{32805n^2(n+1)^2}{4n^4}\bigg)= \end{align}$$

Te lo dejo desde ahí para que lo sigas, pero fijate que 'sobreviven' al límite todos los términos menos el último

Salu2