Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro
Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de 20kg. Responda las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero?
b) ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo?
c) ¿La progresión es aritmética o geométrica?
d) ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar
1 respuesta
Lo primero es que 20kg = 20000 g (es necesario tener todo en la misma unidad de medida)
Lo otro que debes saber es cuanto es la suma de esa serie que expusiste y es la siguiente
$$\begin{align}&S=\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-1\\&\text{Si no conocías la fórmula, verificala con un par de ejemplos (o directamente demuestrala por Inducción)}\\&a)\\&S \le 20000\\&2^{n+1}-1 \le 20000\\&2^{n+1}\le 20001\\&(n+1) log_2(2) \le log_2(20001)\\&n+1 \le \frac{log(20001)}{log(2)}\\&n \le \frac{log(20001)}{log(2)} -1\\&n \le 13.29\\&Rpta: n=13 \text{ (en realidad esta es la respuesta b), la respuesta a) es:}\\&2^{13+1}=2^{14}=16384g \text{Como cada moneda pesa 2 gramos, juntará }\frac{16384}2=8192\ monedas\\&c) \ Geométrica\\&d) \text{ Creciente: ya que cada término es mayor al anterior}\\&\end{align}$$Salu2