Suma de racional para que de un numero natural
Busco un numero racional tal que:
a) Al sumarlo con el racional de 2.7 periódico dé como resultado un numero natural
b) Al multiplicarlo por el racional 2.7 periódico de como resultado un numero natural
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¡Hola Annie!
Imagino que quieres decir que el 7 se repite indefinidamente
$$\begin{align}&2.\hat 7 = 2.77777...\\&\\&\text{Convertiremos el decimal en fraccionario}\\&\text{Se toma el número natural hasta acabar el periodo}\\&\text{se le resta la parte entera y se divide por tantos nueves}\\&\text{como cifras tiene el periodo}\\&\\&2.\hat 7= \frac{27-2}{9}= \frac {25}9\\&\\&\text{Y ahora veamos qué numero natural queremos obtener como suma}\\&\text{pongamos 3 por ejemplo}\\&\\&\frac {25}9+x=3\\&\\&x= 3 - \frac {25}9= \frac{27-25}{9}= \frac 29\\&\\&\text{Esa es una de las rspuestas posibles } \frac 29\\&\\&\text{Puedes probar que también servirían } \frac {11}9, \frac{20}{9}, \frac {29}9, etc\\&\\&\text{En general todo número de la forma } \frac{9n+2}9\; con \;n\in \mathbb N \cup\{0,-1,-2\}\\&\\&---------------------------\\&\\&\text{Y para la multiplicación parecido, esta vez lo hacemos general}\\&\\&\frac{25}9 \times x= n\\&\\&x = n \div \frac {25}{9}= \frac {9n}{25}\\&\\&\text{Cualquier número de esa forma con n natural sirve}\\&\\&\frac{9}{25}, \frac{18}{25}, \frac{27}{25}, etc\\&\\&\\&\text{}\end{align}$$Y eso es todo, saludos. Si acaso lo que puedes hacer es volver a hacer el primero poniendo m en lugar de 3 para ver por qué sirven los valores 0, -1, y -2 de n.
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1 respuesta más de otro experto
;)
Hola Annie!
Pasamos primero el periódico a fracción:
$$\begin{align}&x=2, \overline 7\\& 10x= 27, \overline 7\\&\\&restando:\\&9x=25\\&\\&x=\frac{25}{9}\\&\\&a)\\&\end{align}$$has de sumar una fracción que de como resultado un natural.
sumando 2/9 tendríamos en total 27/9=3
Pero eso tiene infinitas posibilidades:
$$\begin{align}&\frac{25}{9}+ \frac{2}{9}=\frac{27}{9}=3\\&\\&solución \\&\\&\frac{2}{9}\\&\\&b)\\&\end{align}$$b) también hay múltiples posibilidades:
la más sencilla 9/25
$$\begin{align}&\frac{25}{9}· \frac{9}{25}=1\end{align}$$Saludos
;)
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