Razón de las medianas de un triangulo

;)
Hola David!

Sean M y N los puntos medios de los lados.

Por el Teorema de la Paralela Media se cumple que (en negrita son vectores)

BC= 2·MN

El vector cumple: MN=MG+GN    (por construcción)

Y el vector BC=BG+GC   (por construcción)

De donde:

BG+GC=BC=2MN=2(MG+GN)

BG+GC=2MG+2GN

De donde se deduce:

(BG-2GN)+(GC-2MG) = 0   (vector nulo)    (*)

Por construcción también vemos que los vectores :

BG y GN son paralelos y 

GC y MG  son paralelos

Luego se cumple que son proporcionales:

$$\begin{align}&\vec{BG}=\alpha ·\vec{GN}\\&\\&\vec{GC}= \beta·\vec{MG}\\&\\&donde  \ \alpha, \beta \in \mathbb R\\&\\&sustituyendo \ en \ (*):\\&\\&(\alpha-2) \vec{GN}+(\beta -2) \vec{MG}=\vec{O}\ \ \ (**)\end{align}$$

Como  GN y MG no son paralelos ===> (**) solo se cumple si se verifica:

$$\begin{align}&\alpha-2=0 \Rightarrow \alpha =2\\&\\&\beta-2=0 \Rightarrow \beta=2\\&\\&Luego:\\&\vec{BG}=2·\vec{GN}\\&y\\&\vec{GC}=2·\vec{MG}\\&\end{align}$$

(c.q.d.)        como queríamos demostrar

Saludos

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