Aplicación de teoremas sobre integral definida

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¡Hola Ninel!

No habrá que hacer esa integral que debe ser difícil a lo mejor, pero si que habrá que hacer otras más sencillas.

$$\begin{align}&\frac{1}{7 \sqrt 2}\le\int_0^1 \frac{x^6}{\sqrt{1+x^2}}dx\le \frac 17\\&\\&\text{Por ser 0 y 1 los límites de integración}\\&0\le x\le 1\implies 0\le x^2\le 1\implies\\&1\le1+x^2\le 2\implies 1\le \sqrt{1+x^2}\le \sqrt 2\implies\\&\\&\frac 11\ge \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ge \frac{1}{\sqrt 2}\implies \frac 1{\sqrt 2}\le \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\le 1 \implies\\&\\&\frac {x^6}{\sqrt 2}\le \frac{x^6}{\sqrt{1+x^2}}\le x^6\quad \forall x\in[0,1]\implies\\&\\&\text{Y aquí es donde se aplicará ese teorema que dices}\\&\\&\int_0^1 \frac {x^6}{\sqrt 2}dx\le \int_{0}^1 \frac{x^6}{\sqrt{1+x^2}}dx\le \int _0^1x^6dx\implies\\&\\&\frac{x^7}{7 \sqrt 2}\Bigg |_0^1 \le \int_{0}^1 \frac{x^6}{\sqrt{1+x^2}}dx\le \frac{x^7}{7}\Bigg|_0^1\implies\\&\\&\frac{1}{7 \sqrt 2} \le \int_{0}^1 \frac{x^6}{\sqrt{1+x^2}}dx\le \frac{1}{7}\\&\end{align}$$

Y eso es todo,   sa lu dos.

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